福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第9讲 对数与对数函数

理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数．1(01)___________________________.210_____________.3______________.4log1____log____.1xaaaNaaxaNea一般的，如果且，那么数叫做①，记作②，其中叫做对数的③，叫做④以为底的对数叫做⑤，记作⑥以为底的对数叫做⑦，记作⑧负数和零没有对数；⑨，⑩．对数log*10100log______log______log______.2log(01010)(01)loglog(021)anaanacacNmaaaaMNMNMNMlogbbaaccblogaaNaabbaamnN如果且，，，那么①⑪；②⑫；③⑬对数的换底公式及恒等式．对数的运算性质①且，且，；②且；③且，、．__________(01)_3____.aax一般的，我们把函数⑭且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为⑮．对数函数4.对数函数的图象与性质(01)log(01)______________(01){|}|0log(01)|0{|}5.xaxayaaayxaayaaaxxyyyxaaxxyyRR＝且与对数函数＝且互为，它们的图象关于直线对称，指数函数＝且的定义域为，值域为，对数函数＝且的定义域为反函数指数函，数值域为．2223【要点指南】1.(2011·四川卷)计算(lg14－lg25)÷100－12＝－20.【解析】原式＝(lg14－lg25)÷100－12＝－2(lg2＋lg5)×1100－12＝－2lg10×10＝－20.2.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－12等于()A.13B.123C.122D.133【解析】log7[log3(log2x)]＝0⇒log3(log2x)＝1⇒log2x＝3⇒x＝8，所以x－12＝122，故选C.3.(2011·江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间为(－12，＋∞).【解析】易知定义域为(－12，＋∞)；令u＝2x＋1，u＝2x＋1在x∈(－12，＋∞)上单调递增，且u0，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝log5(2x＋1)在(－12，＋∞)上单调递增．4.(2011·天津卷)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则()A．abcB．acbC．bacD．cab【解析】因为a1，b、c都小于1，排除C、D，又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log43.2log43.6，即bc，故bca.5.(2011·天津卷)设函数f(x)＝log2xx0log12－xx0，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围为(C)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】若a0，则log2alog12a，即2log2a0，所以a1；若a0，则log12(－a)log2(－a)，即2log2(－a)0，所以0－a1，即－1a0，所以a的取值范围为a1或－1a0.一有关对数型函数的运算【例1】(1)计算：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝；(2)已知log89＝a,2b＝5，则lg3＝____________(用a，b表示)．【解析】(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.(2)因为log89＝a，所以a＝2lg33lg2，lg3＝32alg2.又2b＝5，所以b＝log25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝1lg2－1，lg2＝1b＋1，所以lg3＝3a2b＋1【点评】对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质，对数恒等式和对数的换底公式进行，要注意化简过程的等价性和对数式与指数式的互化．(1)(2012·浙江上虞模拟)作为对数运算法则lg(a＋b)＝lga＋lgb(a0，b0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2；则对于所有使lg(a＋b)＝lga＋lgb(a0，b0)成立的a，b应满足函数a＝f(b)表达式为a＝bb－1(b1)；(2)设2a＝5b＝m，且1a－2b＝1，则m＝____.素材1【解析】(1)由题意，lg(a＋b)＝lga＋lgb＝lgab⇒a＋b＝ab，故a＝bb－1，又a0，b0⇒b1.(2)由题意，2a＝m⇒a＝log2m,5b＝m⇒b＝log5m，由换底公式和1a－2b＝1，得log2m－2log5m＝1，即log225m＝1，解之得m＝225.二对数函数的图象与性质【例2】对于函数f(x)＝log12(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值；(4)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．【分析】定义域为自变量x的取值范围，值域为对应函数值的集合，单调区间为定义域的子区间．【解析】(1)由f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋30的解集为R，则Δ＝4a2－120，解之得－3a3.(2)由f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知u(x)＝x2－2ax＋30对x∈[－1，＋∞)恒成立，因为u(x)的对称轴为x＝a，所以当a－1时，u(－1)0，即a－12a＋40，解得－2a－1；当a≥－1时，Δ0，即－3a3，所以－1≤a3.综上可得，a的取值范围为(－2，－1)∪[－1，3)＝(－2，3)．(3)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，即u(x)min＝3－a2＝2，解之得a＝±1.(4)函数f(x)在(－∞，1]上为增函数等价于(令u(x)＝x2－2ax＋3)ux在－∞，1]上为减函数ux0对x∈－∞，1]恒成立，则a≥1u10，解之得1≤a2.即所求a的取值范围为[1,2)．【点评】1.解决对数问题，首先要看函数的定义域，在函数定义域范围内研究函数的单调性．2．定义域为R的问题实质上是不等式恒成立问题，同给定区间上的恒成立问题一样，一般转化为求函数的最值问题．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a0且a≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a的取值范围是{a|34≤a1}.素材2【解析】令u＝x3－ax，u′＝3x2－a.当a1时，f(x)在(－12，0)内单调递增，必须u′0，即3x2－a0在(－12，0)内恒成立，即a3x2恒成立，而03x234，所以a≤0，与a1矛盾．当0a1时，必须u′0，即3x2－a0在(－12，0)内恒成立，也即a3x2，x∈(－12，0)内恒成立，从而a≥34，且(－12)3－a(－12)≥0，得a≥14，综上，a的取值范围为{a|34≤a1}．【点评】复合函数在单调区间内首先应考虑有意义；复合函数y＝logaf(x)的单调区间也是y＝f(x)的单调区间．常以这两点作为突破口解此类问题．三对数函数的综合问题【例3】设f(x)＝log121－axx－1为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)求证：f(x)在(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)(12)x＋m恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)⇒log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1⇔1＋ax－x－1＝x－11－ax0⇔1－a2x2＝1－x2⇒a＝±1.经检验，a＝－1(a＝1舍去)．(2)任取x1x21，所以x1－1x2－10，所以02x1－12x2－1⇒x1＋1x1－1x2＋1x2－1⇒log12x1＋1x1－1log12x2＋1x2－1，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(3)对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)(12)x＋m恒成立⇔f(x)－(12)xm恒成立．令g(x)＝f(x)－(12)x，由(2)知，g(x)在[3,4]上是单调递增函数，所以mg(3)＝－98，即m的取值范围是(－∞，－98)．设f(x)＝lg1＋2x＋4xa3，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．素材3【解析】由题设可知，不等式1＋2x＋4xa＞0在x∈(－∞，1]时恒成立，即(12)2x＋(12)x＋a＞0在x∈(－∞，1]时恒成立．设t＝(12)x，则t≥12.又设g(t)＝t2＋t＋a，则其对称轴为t＝－12，所以t2＋t＋a＝0在[12，＋∞)上无实根，即g(12)＝(12)2＋12＋a＞0，得a＞－34.所以a的取值范围是(－34，＋∞)．备选例题对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，若对任意x∈[m，n]均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1(x)＝loga(x－3a)与f2(x)＝loga1x－a(a0且a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是不是接近的．【解析】(1)依题意a0且a≠1，所以a＋2－3a0a＋2－a0，解得0a1，所以a的取值范围是(0,1)．(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|，令|f1(x)－f2(x)|≤1，得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1，①因为0a1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，所以g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．从而[g(x)]max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，[g(x)]min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)．所以①成立，当且仅当loga4－4a≤1loga9－6a≥－10a1，解得0a≤9－5712.故当0a≤9－5712时，f1(x)与f2(x)在[a＋2，a＋3]上是接近的．【点评】该题属于信息给予的题目，首先要理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数是否“接近”进行研究，即转化成解对数不等式问题．10123．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与比较或与比较．．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型．．解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论．