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以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，认识和理解直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理．1________________.2_____________//.3__________1//aaabaaa定义：如果直线与平面①公共点，则直线与平面平行，记作②判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线③，则该直线与此平面平行．用符号表示为：，，且④性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线．直线与平面平行⑤。用符号表示为：，，__.l⑥1_______________.////2______________________//.2ababP定义：如果平面与平面⑦公共点，则平面与平面平行，记作⑧特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面面线面”．判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面⑨，则这两个平面平行．用符号表示为：，．平面与平面平行的判定与性质，，，3__________.//_______.////////////.abaabab性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线用符号表示为：，，特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如，不一定得到，同时，也不一定得到//////////////aabalbab①没有；②；③平行；④；⑤平行；⑥；⑦没有；⑧；⑨平行；⑩；；平行；【要点指南】1.已知直线a⊄α，直线b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但a∥α时，a与b的位置关系是平行或异面，即必要条件不成立，故选A.2.下列命题中，错误的是(A)A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交3.(教材改编题)已知a，b是两条不重合的直线，α是一个平面，有以下四个命题：①a∥b，b⊂α⇒a∥α；②a∥α，b⊂α⇒a∥b；③a∥α，b∥α⇒a∥b;④a∥b，a∥α，b⊄α⇒b∥α.其中，真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①②③错，④对，故选A.4.(教材改编题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论中，正确的结论是①②④(只填序号)．①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.5.考察下列三个命题，在“____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为l⊄α.①m⊂αl∥m⇒l∥α；②l∥mm∥α⇒l∥α；③l⊥βα⊥β⇒l∥α.【解析】线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l⊄α.一直线与平面平行的判定与性质把正方形ABCD、ABEF放置成如图的一个空间图形，M、N分别是AE、DB上的点，且AM＝DN.证明：MN∥平面EBC.【分析】证明线面平行常用的方法：一是判定定理，关键是在平面EBC上找一条直线与MN平行；二是先证明面面平行，再证明线面平行．【证明】方法1：过M作MM1⊥BE于M1，过N作NN1⊥BC于N1，连接M1N1，则有MM1∥AB，且MM1AB＝EMEA，NN1∥CD，且NN1CD＝BNBD.方法2：如图，连接AN并延长与BC(或BC的延长线)交于点Q，连接EQ.因为AD∥BQ，所以ANNQ＝DNNB.而AM＝DN，ME＝NB，所以ANNQ＝DNNB＝AMME.在△AEQ中，ANNQ＝AMME，所以MN∥EQ.又MN⊄平面EBC，EQ⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.方法3：如图，过M作MK⊥AB于K，过N作NK1⊥AB于K1，则有MK∥EB，故AKAB＝AMAE，NK1∥AD，故AK1AB＝DNDB.而AM＝DN，AE＝DB，所以AKAB＝AK1AB，所以K与K1重合．考虑平面MNK与平面EBC.由MK∥EB，MK⊄平面EBC，EB⊂平面EBC，得MK∥平面EBC.由NK∥AD，得NK∥BC.又NK⊄平面EBC，BC⊂平面EBC，所以NK∥平面EBC.又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面EBC，而MN⊂平面MNK，所以MN∥平面EBC.【点评】本题呈现了证明线面平行的一般方法(①a⊄αa∥bb⊂α⇒a∥α，②α∥βa⊂β⇒a∥α)，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与MN平行的直线操作不一样，证法3是先证面面平行，再利用面面平行的性质来证明线面平行．本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性．若M、N是所在边的中点，直接利用中位线定理更简捷．本题的背景是几何体中的局部“场景”，但所用的证明方法非常有代表性．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、O分别是A1B、AC的中点．求证：OM∥平面BB1C1C.素材1【证明】方法1：连接AB1，B1C，如右图．因为M是AB1的中点，O是AC的中点，所以MO∥B1C.又MO⊄平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，所以OM∥平面BB1C1C.方法2：取AB的中点N，连接MN、ON，如图，则MN∥BB1.又MN⊄平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.同理可得ON∥平面BB1C1C.又MN∩ON＝N，所以平面MON∥平面BB1C1C.而OM⊂平面MON，所以OM∥平面BB1C1C.二平面与平面平行的判定与性质【例2】如图，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【证明】连接A1C交AC1于点E.因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点．连接ED.因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，所以平面A1BD1∥平面AC1D.【点评】证明面面平行的常用方法：①面面平行的定义；②面面平行的判定定理；③两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行．如右图，在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，BB′＝3＋1，E为BB′上使B′E＝1的点，平面AEC′交DD′于F，交A′D′的延长线于G，则异面直线AD与C′G所成角的大小为π6.素材2【解析】如右图，连接C′F，由AD∥D′G，知∠C′GD′为异面直线AD与C′G所成的角．因为AE和C′F分别是平行平面ABB′A′和平面DCC′D′与平面AE′G的交线，所以AE∥C′F，从而D′F＝BE＝3.再由△FD′G∽△FDA，可得D′G＝3.在Rt△C′D′G中，C′D′＝1，D′G＝3，得tan∠C′GD′＝C′D′D′G＝33，故∠C′GD′＝π6.三平行问题探究【例3】如图，四棱柱P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.【解析】在平面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG.因为PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，所以CD∥EG，又因为AB∥CD，所以EG∥AB.若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，所以四边形AFEG为平行四边形，EG＝AF.因为CE＝a2－63a2＝33a，且△PBC为直角三角形，所以BC2＝CE·CP⇒CP＝3a，AFAB＝EGCD＝PEPC＝3a－33a3a＝23.故AF∶FB＝2∶1时，EF∥平面PAD.【点评】本题为立体几何中开放式的探究问题，可以以相关定义、定理为依据，通过题设和图形的结构特征、性质去作辅助线，从而探究出问题的结果．备选例题如图所示，在正方体AC1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点，求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.(3)由(1)知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.1()()2()(1)2平行关系的转化方法解决线面平行、面面平行，要切实把握转化的思想方法．线线平行线面平行面面平行．判定线面平行的方法证明直线和平面平行①依据定义采用反证法；②判定定理法线线平行线面平行；③面面平行的性质面面平行线面平行．证明平面和平面平行①定义法依据定义采用反证法；②判．．定定理线面平行面面平行．1///3///.2.////////.aaaaamaamamabaaababaa正确运用直线、平面平行的性质．直线与平面平行的性质运用①已知直线，平面，若，则与没有公共点；②已知直线、，平面、，若，，，则平面与平面平行的性质运用已知直线，，平面、，①若与没有公共点；②若，；③若，，；④若，．