锐角三角函数的复习

锐角三角函数（复习课）复习提纲（要求：学生独学构造知识网络。）1.锐角三角函数公式：2.特殊角的三角函数值：3.解直角三角形的依据：（1）.三边关系（2）.锐角之间的关系（3）.边角关系解直角三角形的应用（1）仰角和俯角.（2）方位角（3）坡角，坡比。（注：可画图说明）本章知识结构梳理锐角三角函数1、锐角三角函数的定义⑴、正弦；⑵、余弦；⑶、正切。2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。3、解直角三角形⑴、定义；⑵解直角三角形的依据①、三边间关系；②、锐角间关系；③、边角间关系。4、解直角三角形在实际问题中的应用。1、仰角、俯角2、方位角3、坡度、坡比一.锐角三角函数的概念正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作caAsin余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作cbAcosbaAtanBCA对边a邻边b斜边c锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.二.特殊角的三角函数值2123222123223313锐角的三角函数值有何变化规律呢？知识回顾3三.解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.1.什么叫解直角三角形？2.直角三角形中的边角关系：222cba∠A十∠B＝90°caAsincbAcosbaAtan归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知元素.（1）三边关系：（勾股定理）（2）两锐角的关系：（3）边角的关系：BCA对边a邻边b斜边c知识回顾4四.解直角三角形的应用1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.铅直线水平线视线视线仰角俯角2.方向角指南或北的方向线与目标方向线构成小于90°的角,叫做方向角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则3.坡度、坡角坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.tanhilhltanhil坡度通常写成的形式.3、坡度与坡角之间的关系：hil=tanα显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.hLABCDi=h:lEα（第1题）341、如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，则y=，cosα=．2、在△ABC中，若∠A，∠B满足:sinA=___，cosB=___，∠A=___，∠B=___。0)21(cos23sin2BA3、在正方形网格中，的位置如图所示，则∠B正弦值为（）1233...2223ACDB4、在Rt△ABC中∠C=90°,sinA=,cosA=535、在△ABC中，∠C＝90°，则sinA+cosA的值（）A.等于1B.大于1C.小于1D.不一定5、一段坡面的坡角为60°，则坡度i=___，一个人从山脚走到高为100米的山顶，走了200米，山的坡角度数α为=。6.一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单位是米，结果保留根号）.AEF6α1:3iBC4阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=____,cos30°=____,sin230°+cos230°=____;sin45°=____,cos45°=____,sin245°+cos245°=____;sin60°=____,cos60°=____,sin260°+cos260°=____;⑴观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有sin2A+cos2A=____;⑵如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对上述猜想进行证明。⑶已知∠A为锐角（cosA﹥0）且sinA=，求cosA。53ACB30°练习1、某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30°，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？试试你的基本功练习1、某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30°，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？练习1、我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30°，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？练习1、某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30°，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？30°16x练习1、我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30°，如果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？2、如图，小山岗的斜坡AC的坡度是3:4，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.60，求小山岗的高AB（结果取整数；参考数据：sin26.60=0.45，cos26.60=0.89，tan26.60=0.50）。A26.60DC200米αB3、如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？解：(1)过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形.∴EF=AC=30，AF=CE=h,∠BEF=α，∴BF=3×10-h=30-h.又在Rt△BEF中，tan∠BEF=，EFBF∴tanα=，即30-h=30tanα.∴h=30-30tanα.hh30共同探索：1、如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？(2)当α＝30°时，h=30-30tan30°=30-30×≈12.7，∵12.7÷3≈4.2，∴B点的影子落在乙楼的第五层.当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴=1(小时).33153045故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．Zx.xk二、本章专题讲解专题二：解直角三角形专题概述：Zx```x//k解直角三角形的知识在解决实际问题中有广泛的应用。因此要掌握直角三角形的一般解法，即已知一边一角和已知两边的两种情况。3、如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标的俯角30°，飞机高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A、1200米B、2400米C、400米D、1200米BCA33B3、坡度与坡角之间的关系：hil=tanα显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.hLABCDi=h:lEα1.一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；2.一个人从山脚走到高为100米的山顶，走了200米，求山的坡角度数.3.一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单位是米，结果保留根号）.练习AEF6α1:3iBC4在Rt△ABC中∠ACB=90°,斜边AB上的高CD=2，AC=4，则∠ACD的正切值记作（），结果为（），tanB=()ABCD知识回顾4四.解直角三角形的应用1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.铅直线水平线视线视线仰角俯角2.方向角指南或北的方向线与目标方向线构成小于90°的角,叫做方向角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则3.坡度、坡角坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.tanhilhltanhil坡度通常写成的形式.同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值.即sinA＝cos（90°一A）＝cosBcosA＝sin（90°一A）＝sinB思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之间有何关系？1cossin22AA二、本章专题讲解专题一：锐角三角函数强化练习：1、在△ABC中，∠C＝90°，则sinA+cosA的值（）A.等于1B.大于1C.小于1D.不一定B如图,在Rt△ABC中AC=3,AB=√13,求锐角A的三角函数值。BCA解：原式=2×+1×2121=1+21例1.计算2sin30°+tan45°×cos60°21=步骤：一“代”二“算”例2.若，则锐角α=01tan330°点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先将原式变形为tanα=，从而求得α的度数.33在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念lhα（2）坡度tanα＝hl常用角的认识（1）仰角和俯角视线铅垂线水平线视线仰角俯角（3）方位角30°45°BOA东西北南α为坡角在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念常用角的认识（1）仰角和俯角视线铅垂线水平线视线仰角俯角（2）方位角30°45°BOA东西北南