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第五节直线、平面垂直的判定及其性质【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)直线与平面垂直①定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.任意②判定定理与性质定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直,则该直线与此平面垂直_______________________相交⇒l⊥αa,b⊂αa∩b=Ol⊥al⊥b文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线_________________⇒a∥b平行a⊥αb⊥α(2)直线和平面所成的角①定义:平面的一条斜线和_________________所成的_____叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是_____;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是________.②范围:_____.它在平面上的射影锐角直角0°的角[0,]2(3)平面与平面垂直①二面角的有关概念:(ⅰ)二面角:从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角;(ⅱ)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作_________的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.②平面和平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是_________,就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角③平面与平面垂直的判定定理与性质定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____,则这两个平面垂直__________⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直_________________________⇒l⊥α垂线交线l⊥αl⊂βα⊥βl⊂βα∩β=al⊥a2.必备结论教材提炼记一记(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的方法,求线面角,二面角的方法.(2)数学思想:数形结合思想,转化与化归思想.(3)记忆口诀:判断线面的垂直,线垂面中两交线;两线垂直同一面,两线平行共伸展;两面垂直同一线,一面平行另一面;要让面面相垂直,面过另面一垂线;面面垂直成直角,线面垂直记心间.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)垂直于同一个平面的两平面平行.()(2)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.()(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()(4)二面角是指两个相交平面构成的图形.()(5)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()【解析】(1)错误.两个平面也可能相交.(2)错误.两条直线也可能异面或相交.(3)错误.α与β不一定垂直.(4)错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(5)错误.若平面α⊥平面β,则平面α内的直线l与β可平行,可相交,也可在平面β内.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.教材改编链接教材练一练(1)(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的是()A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ.【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行平面β,也可能在平面β内.(2)(必修2P73习题A组T3改编)如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为.【解析】所以有4个直角三角形.答案:4VAABVAABCVAACBCABCABACA平面 平面VABCBCVABABBCBCVB.VBVABVAABA 平面 平面3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直线AA1,AB1相交,故选项A错误;根据线面垂直的定义,一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项B正确;直线AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BC,但直线BC⊂平面ABCD,故选项C错误;直线AA1∥平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线CD⊂平面CC1D1D,故选项D错误.(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】选D.因为m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.所以α,β相交(否则m,n为平行直线).设α∩β=l′,则l′⊥m,l′⊥n,过空间一点P作m′∥m,n′∥n.则m′,n′可确定平面γ.由题意知:l⊥γ,l′⊥γ.所以l∥l′.(3)(2015·济南模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD【解析】选D.A中,因为CD∥AF,AF⊂平面PAF,CD⊄平面PAF,所以CD∥平面PAF成立;B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DF⊥AF.又因为PA⊥平面ABCDEF,所以PA⊥DF,又因为PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF成立;C中,因为CF∥AB,AB⊂平面PAB,CF⊄平面PAB,所以CF∥平面PAB;而D中CF与AD不垂直,故选D.考点1与线、面垂直关系有关命题真假的判断【典例1】(1)(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α(2)(2015·济南模拟)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β【解题提示】(1)依据线面平行、垂直的判定与性质逐一判断.(2)逐个验证选项中的条件能否推得α⊥β.【规范解答】(1)选C.对A若m⊥n,n∥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故A选项错误;对B若m∥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故B选项错误;对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确;对D若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故D选项错误.(2)选D.对于A,若l⊂α,m⊂β,且l⊥m.如图(1)所示虽满足条件,但α与β不垂直.对于B,当m∥n时,也得不到平面α与平面β垂直.对于C,如图(2)所示条件满足但平面α与平面β不垂直.对于D,由l∥m,m⊥β得l⊥β,又l⊂α,因此有α⊥β.【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图在头脑中形成印象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【变式训练】(2015·合肥模拟)已知不同的直线l,m,不同的平面α,β,下列命题中:①若α∥β,l⊂α,则l∥β;②若α∥β,l⊥α,则l⊥β;③若l∥α,m⊂α,则l∥m;④若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β.真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.两平面平行,则平面内任何一条直线必平行于另一个平面,故①是真命题;两平面平行,若一条直线垂直于其中一个平面,则必垂直于另一个平面,故②是真命题;对于③,直线l也有可能与直线m异面,故③是错误的;对于④,若直线m不在平面α内,则不成立,故④是错误的.所以真命题有2个.【加固训练】1.(2014·衡水模拟)设l是直线,α,β是两个不同的平面()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【解析】选B.对于A,若l∥α,l∥β,则α,β可能相交;对于B,若l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行,则m⊥β,又m⊂α,故α⊥β.选项C,l可能平行于β或l在平面β内;选项D,l还可能平行于β或在平面β内.2.(2015·长沙模拟)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α【解析】选C.对于选项C,在平面α内存在m∥b,因为a⊥α,所以a⊥m,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出a∥b.考点2线面垂直的判定与性质知·考情直线与平面垂直的判定与应用是高考考查垂直关系的一个重要考向.常与线线垂直、面面垂直及平行关系综合出现在解答题中,考查线面垂直的判定定理及其性质.明·角度命题角度1:证明直线与平面垂直【典例2】(2014·福建高考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)分别求出△ABM的面积和高CD,继而求出体积.或利用VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD求解.【规范解答】(1)因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD,因为AB=BD=1,所以S△ABD=.因为M是AD的中点,所以S△ABM=S△ABD=.由(1)知,CD⊥平面ABD,所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.12121413112【一题多解】解答本题(2)你还知道什么方法?解答本题(2)还有以下方法:(2)由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,则MN⊥平面BCD,且MN=AB=,1212又CD⊥BD,BD=CD=1,所以S△BCD=.所以三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.121313112命题角度2:利用直线垂直平面的性质证明线线垂直【典例3】(2015·临沂模拟)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.求证:PA⊥CD.(本例源于教材必修2P69例3)133【解题提示】只需证明直线CD垂直于PA所在的平面PAB即可.【规范解答】因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由AC=BC得,∠ABC=30°,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3,所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以PD⊥CD,由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.33【互动探究】在本例的条件下,