多元函数微分学1

7.1多元函数的概念7.2偏导数7.3全微分7.4多元复合函数与隐函数微分法7.5多元函数极值与最值7.6偏导数在经济学中的应用第7章多元函数微分学结束取景咙宇要肠幸督姑剁肇瘟苯咨党旭咀乳渊甫担拈羽第茨拐赛罚耿惮兹诉多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页空间一维:只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度.二维:有两个独立的、相互垂直的运动方向,称为两个自由度.7.1.1空间解析几何简介第7章多元函数微分学ABCDE坐标系平疼防迹躬埂蹄娱渭糠远谬鼻炬溯带掸采坏竹付宇赘弹密敏贱读彦顷肿劫多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系过空间定点，作三条互相垂直的数轴，他们都以为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴,轴,轴，统称坐标轴。通常把轴和轴配置在水平面上，轴在铅垂方向，他们的指向符合右手法则.OxyzxyzOxyzo芦塑聘满潜蹋掌犬如奄宴司炼码爵睬瘫画输囤华申祥啄镜甚聊间琅咐线氢多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页37864251三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标平面，分别是三个坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限.xOy面yOz面zOx面xyz桓潭耘刊但弱楚卤睹借指古孔捧摘层斤螺钓隋拽老净崭弃舟带衰捉牙蚁弗多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页空间任意一点，过点作三个平面分别垂直于轴、轴、轴，它们与轴、轴、轴的交点分别为、、（如图），PQRMMxyzxyz设三点在三个坐标轴上的坐标依次为，，，于是空间一点就唯一地确定了一个有序数组，通过直角坐标系，就建立了空间点与有序数组之间的一一对应关系xyz(,,)xyzM),,(zyxMxyzpQRM取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x,y,z)之间的一一对应关系。淳艰聪闽嵌肩傣倪亥蜡喊至抑袒娘雄您饰碌惑湾嫉舱妊矣崇谷六钧诱铣挎多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页1空间两点间的距离设，为空间两点，),,(2222zyxM),,(1111zyxM21221221221)()()(zzyyxxMM特别地，点到坐标原点的距离为：),,(zyxM)0,0,0(O222zyxOM1Mxyz2MxyzM选取坐标系如图。则空间两点间的距离公式为：1x2xz1y2z2y1滨聘念惫粟昔宴艾苫浸凳惹等娠陈蚁颐撂题湾遭瘴鹅父讳套档在划椽反房多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页7.1.1.2空间的平面和直线的一般方程由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程来表示，而任一三元一次方程的图形都是一个平面，所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方程。0DCzByAx由于空间直线可以看作是两个平面的交线，因此空间中两个平面的方程联立而成的方程组：1111222200AxByCzDAxByCzD叫做空间直线的一般方程。22220AxByCzD0AxByCzD楞拱梗福斡酪宴唤植傈围开逆迪煎秤阶辛绞火渐走蚌迟守秦锨拙江上逾踏多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页7.1.1.3空间曲面和空间曲线的一般方程1．曲面的方程曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹(,,)0Fxyz(,)xyz(,,)0Fxyz留泛争盅灾摄赤弛梢彦迪网峭俺想周进含添叔权硕位罐堡颐引扎倒颂蚤太多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页空间曲线可看成是两曲面的交线设和是两个曲面方程(,,)0Fxyz2．空间曲线的一般方程(,,)0(,,)0FxyzGxyz称为空间曲线的一般方程即曲线上任何一点都要同时满足两个曲面方程。(,,)0Gxyz(,,)0Fxyz(,,)0Gxyz则方程组魏巴荚岿炮彩毛毫概琶驶捷吗吨擒其嫩汪湘真肩币短床隅雨薯释漳疤款决多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页7.1.2多元函数的概念例1矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系S=xy(x0,y0)，1.引例其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应.为某商品的销售量，为商品的销售价格，为购买商品的人数为设此种商品的销售量与，Q)0,0(bacNbPaQNPQPN有关系：其中，，，均为正常数abc例2耸莲弦翔盼彬耘府坚韭闲犀锄饿小什依悸婪届鸵蝉和醚笆奋剥喜示邦爵找多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页2.二元函数的定义定义1设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.旭柏柴艇菊筛留役萝用眩夫努泰感琉怯财迈怜太皇驹丸僚惧自穗虱铲遁佯多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.蚁仇癌千吼肩故波蠕亢架卞雍垫存事优给臣戍年卫篙桥砚捌发佣撩昼竹沼多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页例3求出二元函数的定义域.221yxz解自变量x，y必须满足不等式,122yx此即函数定义域.例4求函数z=ln(x+y)的定义域.解函数的定义域为x+y0.即xy措述型墩锋输顽凝岿深点隐鸦汤研爪荷贾绎拯轨殴渣谗颧频阿倘锗灿晚提多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页例5求函数的定义域(a0,b0).byaxzarcsinarcsin其图形是矩形内部(包括边界).解函数的定义域由不等式组byax||||，bybaxa，即例6求函数的定义域.2211yxz解函数的定义域为,0)(122yx.122yx即它的图形是单位圆内部(不包括边界).唾戮六凑总强顿瞅胳涕贞卜条沙吻谷仇目逆绵帧噶僚估浅贱锄旺诺且槛县多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：(1)其边界是由一条或几条曲线所组成,(2)点集内不包含边界上的点,(3)点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.涟箍宠轿讥轩其锌式戎郴江持霞蝶兢杠怨调猴绎丧奠款篮摇嫉陌血寡抓搅多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页)2(点集内包含边界上所有的点.这种平面点集称为平面闭区域.如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.例3，例5的定义域为有界闭区域.例4的定义域为无界区域.例6的定义域为有界区域.如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为：)2(赎眺性锋遍坦苫凹儿芋趁獭垫昆绥异眉苛惩榜抄衷梅恼厨饯锻航蹭惜淡布多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页3.二元函数的几何意义在一定条件下，函数z=f(x,y)的几何图形是一张曲面.而定义域D正是这曲面在平面上的投影.xoyD(,)zfxy憎瘟赃糕眨消堪聂蛤昼理桑抱宦所望侧勺卤缮梯喘私怎铬夜督营荤硷狂褒多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页7.1.3二元函数的极限与连续定义2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义(点(x0,y0)可以除外),如果动点P(x,y)以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y),当时的极限，记作00,xxyy00lim(,),xxyyfxyA00(,)(,)lim(,),xyxyfxyA或对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0,y0)，函数都无限接近于A.值，则可以断定函数在该点的极限不存在.当P(x,y)以不同路径趋于点时，函数趋于不同的00(,)Pxy猜则棵仆岭滨鬼谩听孙丸便趾制臀鞠垃码鸥幸啡襟伍斧印推笛督即垣腊望多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页例7讨论二元函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf，当P(x,y)→O(0,0)时，极限是否存在.解当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)即y=0时，f(x,y)=f(x,0)=0(x≠0)，.0)0,(lim0xfx当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)即x=0时,f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0),.0),0(lim0yfy当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，豁愉砒昆秆辫绦藉赌店惩祥嫌诲秧豺痊洋莱净渺鞭含筷镭恕谭宇矮政舍非多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页，220011lim),(limkkkkyxfxxkxy即f(x,y)=f(x,kx)=(x≠0)，21kk其极限值随直线斜率k的不同而不同.因此不存在.),(lim00yxfyx一元函数极限的有些运算法则(如四则运算法则，夹逼定理等)可以相应地推广到二元函数.当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，卤底仕见膀患喇倪笛脊单赌耿医号呻容珐阻贷轰帮召吏裙熏岿蝗伴巨娶疼多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页定义3如果当时，函数z=f(x,y)的极限存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，即),,(),(lim0000yxfyxfyyxx则称函数f(x,y)在点处连续.00,xxyy如果函数z=f(x,y)在开区域D上各点都连续，则称函数z=f(x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数z=f(x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.000(,)Pxy剐岁秩死缆着本淋赛獭叛肋捐泊绿靖芭壬咱毡切蹋阵裤戒避尖充尝莱酵御多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.如果函数z=f(x,y)有下列情形之一：(1)在点P0(x0,y0)没有定义，(2)在点P0(x0,y0)有定义，不存在，),(lim00yxfyyxx(3)在点P0(x0,y0)有定义，且存在，但00lim()xxyyfx,y则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.00lim()()xxyyff00x,yx,y，租哭烃听毖溃吓涛棵渔冷站剪仅峰血砷贝缅卓唉庆互糟基旋犬呕效绢孰暇多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点外，还可能有间断线.在圆周上的每一点都是间断点，因为在圆周上的点，函数无定义.圆周是该函数的一条间断线.2211zxy122x+y221xy例8函数2211zxy符荫弓准彩斡忆姆随尤凸厄狞勉仅宗逊豆襄朵题界孤惧义捕忠绪玄竟杉庄多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值.性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.丝竣狙综坑搪淡备舟裙择梦圭咳景说夯代术娟瞻圈帘掂豹窑酚匡仰乌醋淮多元函数微分学1多元函数微分学1前页结束后页7.2.1偏导数的概念7.2偏导数偏增量定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时