高考数学二轮复习专题5解析几何第12讲圆锥曲线的定义方程几何性质课件理

题型1圆锥曲线的定义、标准方程题型2圆锥曲线的几何性质三年真题验收复习效果栏目导航专题限时集训圆锥曲线的定义、标准方程题型1(对应学生用书第40页)■核心知识储备………………………………………………………………………·圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】(考查圆锥曲线标准方程的求解)设双曲线与椭圆x227＋y236＝1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是()A.y24－x25＝1B．y25－x24＝1C.x24－y25＝1D．x25－y24＝1[思路分析]依据已知条件，得出双曲线的焦点坐标和双曲线过点(15，4)，利用定义法、待定系数法或共焦点曲线系方程求解即可．[解析]法一：(定义法)椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．根据双曲线的定义知，2a＝|15－02＋4－32－15－02＋[4－－3]2|＝4，解得a＝2，又b2＝c2－a2＝5，所以所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.故选A.法二：(待定系数法)椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝9.①又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1.②由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.故选A.法三：(共焦点的曲线系方程)设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ＝32或λ＝0(舍去)．故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.故选A.[答案]A【典题2】(考圆锥曲线定义的应用)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()【导学号：07804086】A.72B．3C.52D．2[解析]如图所示，因为FP→＝4FQ→，所以|PQ||PF|＝34，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，所以|MQ|4＝|PQ||PF|＝34，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.[答案]B【典题3】(考查圆锥曲线的轨迹问题)(2017·福建泉州二模)在△ABC中，O是BC的中点，|BC|＝32，△ABC的周长为6＋32，若点T在线段AO上，且|AT|＝2|TO|，建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程．[解]以O为坐标原点，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.依题意，得B－322，0，C322，0.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋32，得|AB|＋|AC|＝6，故|AB|＋|AC|＝6＞|BC|，所以A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为6的椭圆(除去长轴端点)．所以点A的轨迹方程为x29＋2y29＝1(x≠±3)．设A(x0，y0)，T(x，y)，依题意OT→＝13OA→，所以(x，y)＝13(x0，y0)，即x0＝3x，y0＝3y，代入A的轨迹方程x29＋2y29＝1(x≠±3)，得3x29＋23y29＝1(x≠±1)，所以点T的轨迹E的方程为x2＋2y2＝1(x≠±1)．[类题通法]1.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.2计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2aya≠0，椭圆常设为mx2＋ny2＝1m＞0，n＞0，双曲线常设为mx2－ny2＝1mn＞0.2.转化法利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为3，则抛物线的准线方程为()A．x＝－2B．x＝2C．x＝1D．x＝－1D[因为e＝ca＝2，所以c＝2a，b＝3a，双曲线的渐近线方程为y＝±3x.又抛物线的准线方程为x＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A－p2，3p2，B－p2，－3p2，在△AOB中，|AB|＝3p，点O到AB的距离为p2，所以12·3p·p2＝3，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.]2．设椭圆x216＋y212＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1→·PF2→＝9，则|PF1→|·|PF2→|的值为()【导学号：07804087】A．8B．10C．12D．15D[因为P是椭圆x216＋y212＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝4.因为PF1→·PF2→＝9，所以|PF1→|·|PF2→|cos∠F1PF2＝9.因为|F1F2→|2＝|PF1→|2＋|PF2→|2－2|PF1→|·|PF2→|·cos∠F1PF2＝(|PF1→|＋|PF2→|)2－2|PF1→|·|PF2→|－2|PF1→|·|PF2→|cos∠F1PF2，所以64－2|PF1→|·|PF2→|－18＝16.所以|PF1→|·|PF2→|＝15.故选D.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13)圆锥曲线的几何性质题型2(对应学生用书第41页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】(考查椭圆、双曲线的几何性质)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为()A.13B．12C.22D．33[思路分析]x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)――→椭圆与双曲线的关系双曲线的方程―→双曲线的渐近线――→对称性椭圆的离心率．[解析]设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，则由题意可知双曲线的方程为x2c2－y2b2＝1，其渐近线方程为y＝±bcx.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为y＝±x，即b＝c，所以a＝b2＋c2＝2c，故椭圆的离心率e＝22，故选C.[答案]C【典题2】(考查抛物线的几何性质)已知抛物线C1：y＝12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()【导学号：07804088】A.33B．233C.433D．3[思路分析]先由抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标得出直线方程，再对抛物线方程求导，设点M的坐标为(x0，y0)，代入即可求得过点M的切线方程的斜率，结合C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线以及点M在抛物线上可得点M的坐标，把点M的坐标代入直线方程，求解即可．[解析]由题意知，抛物线的焦点坐标为0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x2＋2yp＝1.易知双曲线的渐近线方程为y＝±33x.对函数y＝12px2求导，得y′＝1px.设M(x0，y0)，则1px0＝33，即x0＝33p，代入抛物线方程得y0＝16p，即M33p，16p.由于点M在直线x2＋2yp＝1上，所以36p＋2p×p6＝1，解得p＝43＝433.故选C.[答案]C[类题通法]确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程组或不等式组，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程组或不等式组，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.提醒：求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点Ma5，0，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.22，1B．33，1C.34，1D．55，1D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1－a52＋y21＝x2－a52＋y22，x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，即2a5x1－x2＝x21－x22＋y21－y22，y21＝b2－b2a2x21，y22＝b2－b2a2x22，所以2a5(x1－x2)＝a2－b2a2(x21－x22)，所以2a35a2－b2＝x1＋x2.又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a＜x1＋x2＜2a，则2a35a2－b2＜2a，即b2a2＜45，所以e2＞15.又0＜e＜1，所以55＜e＜1.]2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为π2的直线l过F2且与双曲线交于M，N两点，且△F1MN是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________．y＝±2x[由题意知，F2(c,0)，c＝a2＋b2，设M(c，yM)，由c2a2－y2Mb2＝1得y2M＝b2×c2a2－1＝b4a2，|yM|＝b2a.因为△F1MN是等边三角形，所以2c＝3|yM|，即23＝b2ac＝c2－a2ac，即c2－a2－23ac＝0，得ca＝3，c2＝3a2，又a2＋b2＝c2，所以b2＝2a2，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T3、T4、T5、T6、T7、T12、T14)验收复习效果三年真题︳(对应学生用书第42页)1．(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D．x24－y23＝1B[由y＝52x可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.]2．(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)A[若双曲线的焦点在x轴上，则m2＋n＞0，3m2－n＞0.又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴1＋n＞0，