2-1结构动力学(单自由度和阻尼)

2.2单自由度体系的自由振动FreeVibrationofSingleDegreeofFreedomSystems第二章单自由度体系的振动1.无阻尼自由振动)(tFkyycymPc=0,FP(t)=00kyym这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。为什么要讨论这种简单模型？02yymk2（1）方程的解02yymk20000yyyv代入初始条件通解tCtCysincos21得动位移为tvtytysincos)(00tAtysin)(20202020vyyyA＝0000arctanarctanvyyy＝tvtytysincos)(00初始相位角振幅（amplitudeofvibration）（1）方程的解y0ty-yTTTvvyt0yt0A-AtycostvsintAsintAtysin)(振动将以一个连续地定常幅度振动。经过一固定时段又恢复原运动状态。（2）※结构的自振周期和圆频率（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期2T频率12fT圆频率完成一次振动需要的时间单位时间内完成振动的次数2π个单位时间内完成振动的次数，或单位时间内转的周数22fTstygWgmmk1频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率（naturalfrequency）。gykmTst22？？？（2）※结构的自振周期和圆频率（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）（3）简谐自由振动的特性)sin()(tAty加速度为：)sin()(2tAty)sin()()(2tmAtymtFI在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。惯性力为：它们的幅值产生于1)sin(t时，其值分别为：Ay020Ay20mAFI既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，这样就把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。（3）简谐自由振动的特性例题例1求图示伸臂梁体系的自振频率和周期m312122232222328lllllllEIEI33828EImlTmlEIEIll/21l/2解(1)静定梁，采用柔度法(2)画质体单位力下的弯矩图。(3)弯矩图自乘，求柔度系数。(4)例2求图示单层刚架的自振频率和周期EIEI1=∞EImk116i/h6i/hk1112i/h212i/h2h体系单位侧移时的弯矩图隔离体解(1)超静定刚架，采用刚度法(2)画质体发生单位位移时的弯矩图。(3)取隔离体，列平衡方程，求刚度系数224kih(4)2224224imhTmhiABCDEI=l/2l/2lmm1mm312kBCk1m2m01IFSF02IFklFlmlmAmFlmAmFSII2222222211012233202km0BM02320201lFlFlFSIImk例3求图示体系的自振频率解：在振幅处列平衡方程练习1.计算图示结构的自振频率。mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512׃2结构约束越强,其刚度越大；刚度越大,其自振动频率也越大。2.求图示体系的自振频率。mEIllm/2EIEI3332231mlEIEIlmEIl311323.质点重W，求图示体系的自振频率。EIkl3113lEIkkgWm/gWlEIk33lEAEIEI1=∞m4.求图示体系的自振频率。2.有阻尼自由振动)(tFkyycymPFP(t)=00kyycym2,2mcmk022yyy022yyy特征方程0222122,1特征根一般解tteCeCty2121)(2.有阻尼自由振动（1）ξ=1（临界阻尼）情况tetCCy21tetvtyy00)1(这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。y(t)tOvtan2,12mcmc2mcr2,1阻尼比rcc（2）ξ1（强阻尼）情况1212ttytCeCe21,210tCtCetyt1cosh1sinh)(2221阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量全部用于消耗阻尼,没有多余的能量再引起的振动。实际工程中一般不会出现。y(t)tO（3）ξ1（低阻尼）情况22,11i令21d)sincos()(21tCtCetyddt由初始条件确定C1和C2设vyyy)0()0(得dyvCyC00201tyvtyetydddtsincos)(000)sin)(tAetydt(00020020arctanyvyyvyAddytOAnAn+1tAeddT21.衰减性振动；2.非周期性振动；3.质点两次通过平衡位置的时间间隔相等。)sin)(tAetydt(21d阻尼对自振频率、周期的影响ddT2在工程结构问题中，若0.01ξ0.1，可近似取:TTdd,TTdd,ddTTttkkeAeAeyykk)(1)sin)(tAetydt(阻尼对振幅的影响22lnln1ddTkkTeyyd称为振幅的对数递减率2ln211kkyykmmc22nknkkkkknkkyyyyyyyy)1(211dnTnyynkkln当体系由某一时刻tk，经过n个准周期后，其振幅的比值按几何级数递减。通过实测y(tk)和y(tk+nTd)可计算阻尼比，从而确定阻尼系数c。工程实际中阻尼比常在0.02~0.2之间，所以212d1TTd)(21nn感知结构概念通过简单的模型演示来说明结构概念和原理，以更好的理解这些基本概念；通过工程实例来说明结构概念和原理的应用，以架起理论与实践之间的桥梁。（1）观察自由振动中的阻尼效应（2）聆听自由振动中的阻尼效应（3）自由振动衰减与构件固有频率的关系（4）过阻尼系统阻尼理论研究动力系统在振动过程中能量耗散的现象、机理和数学物理模式的学说。人们观察到，振动体系在外荷载停止作用之后，其自由振动将随时间延续而衰减；另外，在材料、构件和结构的往复荷载作用实验中，即使在弹性范围内，实测得到的力-变形曲线也并非严格的直线，而是具有一定面积和形状的滞回环；这些现象表明，振动体系具有能量耗散（即阻尼）的普遍特征。阻尼理论是结构动力反应分析的重要基础之一。由于阻尼机制的复杂性以及在振动过程中直接测量阻尼力的困难，长期以来，人们只能借助阻尼效应的实测结果，在某种假定的机理下对阻尼进行定量描述，并未形成系统严格的阻尼理论。有关阻尼物理机制的经典研究涉及干摩擦和内摩擦两种。干摩擦的研究结果以库伦摩擦理论为代表；内摩擦亦称粘滞摩擦，研究结果表述为粘滞阻尼理论。实际上，振动体系的耗能机制还包括材料塑性变形、断裂乃至超弹性和相变等，并非库伦摩擦和粘性所能概括。一些文献认为，阻尼可以分为内阻尼和外阻尼两类，内阻尼是因结构材料的内摩擦和构件之间的干摩擦造成的振动能量耗损；外阻尼则是所研究的振动体系在与外部介质（土、空气、水、电场和磁场）相互作用中发生的能量耗散（如辐射阻尼）。然而，内阻尼和外阻尼并没有严格的界限。例如，上述内阻尼也可理解为振动能量转化为热能并向外界温度场的扩散。若将研究对象局限于地面结构自身，则结构振动能量向地基的扩散可视为外阻尼；但研究对象若为土-结相互作用体系，上述阻尼效应则属体系内的能量传递。结构弹性地震反应的阻尼理论主要涉及常系数粘滞阻尼、频率相关粘滞阻尼和复阻尼。常系数粘滞阻尼采用具有常量阻尼系数的一般粘滞阻尼的单自由度体系在简谐扰力作用下的运动方程为：sinmucukutP3.6-1式中：m、c、k分别为体系的质量、阻尼系数和刚度；u、u、u分别为体系反应的位移、速度和加速度；P为扰力最大幅值；为扰力频率。上述体系的强迫振动稳态解为：12222[()()]sin()cuPkmct3.6-2在稳态反应的一个循环中，体系的耗能为：22221π[()()]UcPkmc3.6-3显然，体系耗能与扰力频率成正比，但这并不符合一般工程结构的实验结果。频率相关的粘滞阻尼采用频率相关的粘滞阻尼（亦称结构阻尼、滞变阻尼或滞弹性阻尼）的单自由度体系在简谐扰力作用下的运动方程如下：(/)sinmuhukuPt3.6-4式中：/h为频率相关的粘滞阻尼系数。运动方程（4）的强迫振动稳态解为：12222[()]sin()cuPkmht3.6-5在稳态反应的一个循环中，体系的耗能为：22221π[()]UhPkmh3.6-6由于采用了频率相关的粘滞阻尼系数，体系耗能不再与扰力频率线性相关。复阻尼复阻尼（亦称结构阻尼或滞变阻尼）一般假定阻尼力与刚度成正比，但相位与反应速度相同。采用复阻尼的单自由度体系在简谐扰力作用下的运动方程为(1i)sinmukuPt3.6-7式中：i1；为复阻尼系数。运动方程（7）的强迫振动稳态解为：12222[()()]sin()cuPkmkt3.6-8在稳态反应的一个循环中，体系的耗能为：22221π[()()]UkPkmk3.6-9复阻尼体系的耗能也不与扰力频率线性相关。对比式3.6-6和3.6-9可以发现，频率相关的粘滞阻尼与复阻尼本质是一致的，只要阻尼系数满足kh，两种阻尼的耗能相同，这也是两者都被称为滞变阻尼的原因。当扰力频率=0时，式3.6-5和式3.6-8给出的体系位移并不等于静力P作用下的静位移，这是不合理的；但若考虑阻尼系数是远小于1的数，上述差别在实际工程中是可以忽略的。对比式3.6-3和3.6-9，欲使粘滞阻尼与复阻尼耗能相同，必须满足kc。由于c、均为常数，而扰力频率与体系刚度k无关，故两种阻尼系数不存在一般的关系；只有在结构体系的振动频率mk/0与扰力频率相等的情况（共振状态）下，才可由kc0和mc02得出2，即复阻尼系数为等效临界粘滞阻尼比的2倍。阻尼理论是就单自由度体系在简谐输入下的稳态强迫振动进行分析的，尽管实际结构一般不是单自由度体系、结构地震反应并不是稳态的、地震动输入亦非简谐波，但上述分析至今仍是结构地震反应分析中应用和确定粘滞阻尼比、考虑耗能特性的根据。地震工程中所关注的阻尼现象主要包括结构体系弹性振动状态下的耗能、非线弹性振动状态下的耗能以及振动控制技术中各类阻尼器的耗能。阻尼耗能的分析可以采用某种耗能机制的物理假设，但更注重与实验结果的拟合与数值计算的便利。正交阻尼线弹性振动体系（或等效线性体系）的耗能特性多采用粘滞阻尼形式，具体表述方式含瑞利阻尼