2-2-2 向量减法运算及其几何意义

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4第二章平面向量成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第二章平面向量第二章平面向量成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．2平面向量的线性运算第二章第二章平面向量成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第二章2．2.2向量减法运算及其几何意义第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4温故知新1．在四边形ABCD中，AB→＝DC→，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形[答案]D第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42.AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→＝()A．0B．0C．2AD→D．－2AD→[答案]B第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．对任意向量a，b，在下列各式中：①a＋b＝b＋a;②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a|＋|b|;④|a＋b|≤|a|＋|b|.恒成立的有________．[答案]①②④第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4新课引入俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则名为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言：一天，梭子鱼、虾和天鹅，出去把一辆小车从大路上拖下来：三个家伙一齐负起沉重的担子．他们用第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4足劲，身上青筋根根暴露；无论他们怎样的拖呀，拉呀，推呀，小车还是在老地方，一点也没有移动．倒不是小车重得动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去．对于这个结果我们可以用物理学知识解释，实质上，在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识．本节课我们就来研究向量的减法．自主预习阅读教材P85－86回答下列问题．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修41．相反向量定义如果两个向量长度相等，而方向相反那么称这两个向量是相反向量①对于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0性质③零向量的相反向量仍是零向量[点拨]相反向量类似于实数中的相反数，它们的性质有相似之处．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反[答案]A第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的_________作法在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝_____.如图所示相反向量BA→第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的_______指向向量a的________的向量终点终点第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[总结]①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．②以向量AB→＝a、AD→＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4化简AB→＋DA→－DB→－BC→－CA→的结果是________．[答案]AB→第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起运算，即AB→＋DA→－DB→－BC→－CA→＝(AB→＋BD→＋DA→)－(BC→＋CA→)＝0－BA→＝AB→.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB→－AD→|＝________.[答案]2[解析]|AB→－AD→|＝|DB→|＝12＋12＝2.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[拓展]|a－b|，|a|－|b|，|a|＋|b|三者的大小关系剖析：当向量a与b共线时，(1)当两非零向量a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b|||a|＋|b|；(2)当两非零向量a与b反向时，|a－b|＝|a|＋|b||a|－|b|；(3)当a与b中至少有一个为零向量时，|a－b|＝||a|－|b||＝|a|＋|b|.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，AC→＝a，AB→＝b，则BC→＝AC→－AB→＝a－b，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a|－|b|||a－b||a|＋|b|.综合可知，对任意的向量a与b都有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.只当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||≤|a－b|中的等号成立；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，|a－b|≤|a|＋|b|中的等号成立．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课堂典例讲练第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4思路方法技巧如图，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b－c.[分析]利用向量加法和减法的三角形法则作图即可．命题方向1利用已知向量求作和向量或差向量第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]解法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.解法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：(1)求作两个向量的和向量时，要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则的应用．(2)求作两个向量的差向量时，有以下两种思路：①可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．②也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知向量a、b、c与d，如图所示，求a－b，c－d.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[分析]a－b可以由向量减法的三角形法则(或由平行四边形法则)直接作出，可以看作a＋(－b)先作出－b，再利用加法的三角形法则(或平行四边形法则)作出．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]作OA→＝a，OB→＝b，作BA→，则a－b＝OA→－OB→＝BA→，作OC→＝c，OD→＝d，作DC→，则c－d＝OC→－OD→＝DC→.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA→＝a，OE→＝b，用向量a、b表示向量OB→、OC→和OD→.命题方向2利用已知向量表示其他向量第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[分析]观察图形→找已知向量与所求向量的关系→利用法则写出结果[解析]解法一：在▱OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE起点相同，应用平行四边形法则，得OF→＝OA→＋OE→＝a＋b.∵OC→＝－OF→，∴OC→＝－a－b.而OB→＝－OE→＝－b，OD→＝－OA→＝－a，∴OB→＝－b，OC→＝－a－b，OD→＝－a.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4解法二：由正六边形的几何性质，得OD→＝－a，OB→＝－b，BC→＝－OA→＝－a.在△OBC中，OC→＝OB→＋BC→＝－a－b。解法三：由正六边形的几何性质，得OB→＝－b，OD→＝－a.在▱OBCD中，OC→＝OB→＋OD→＝－a－b.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4如图所示，解答下列各题：第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(1)用a、d、e表示DB→；(2)用b、c表示DB→；(3)用a、b、e表示EC→；(4)用c、d表示EC→.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析](1)DB→＝DE→＋EA→＋AB→＝d＋e＋a＝a＋d＋e.(2)DB→＝CB→－CD→＝－BC→－CD→＝－b－c.(3)EC→＝EA→＋AB→＋BC→＝a＋b＋e.(4)EC→＝－CE→＝－(CD→＋DE→)＝－c－d.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4建模应用引路已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．[分析]明确a－b与a＋b的几何意义，通过解直角三角形求得结果．命题方向3向量的加、减运算及模的综合应用第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]在平面内任取一点A，作AD→＝a，AB→＝b，则AC→＝a＋b，BD→＝a－b.由题意，知|AB→|＝|BD→|＝2，|AD→|＝1.如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB于F.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝12AD＝12.在△ABE中，cos∠EAB＝AEAB＝14.在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝14.∴BF＝BCcos∠CBF＝1×14＝14.∴CF＝154.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4∴AF＝AB＋BF＝2＋14＝94.在Rt△AFC中，AC＝AF2＋CF2＝8116＋1516＝6，∴|a＋b|＝6.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：(1)理解向量的几何意义，且能准确运用向量的加、减运算．(2)恰当构造相关图形，且能灵活运用的几何性质求解未知量．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求OD→.[分析]将要表示的向量放在一个三角形中，利用三角形法则求解．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]BC→＝OC→－OB→＝c－b，又AD→＝BC→，∴AD→＝c－b，∴OD→＝OA→＋AD→＝a＋c－b.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4名师辨误作答对