2-2-2-第2课时 对数函数性质的应用

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修1成才之路·数学·人教A版·必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)第二章基本初等函数(Ⅰ)成才之路·数学·人教A版·必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)第二章2．2对数函数成才之路·数学·人教A版·必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)第二章2.2.2对数函数及其性质成才之路·数学·人教A版·必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)第二章第2课时对数函数性质的应用第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1课前自主预习方法警示探究思路方法技巧建模应用引路课堂基础巩固课后强化作业名师辩误做答第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1课前自主预习第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1温故知新回顾对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象与性质填表：a10a1图象第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1a10a1定义域(0，＋∞)(0，＋∞)值域RR单调性增函数减函数过定点图象过点(1,0)，即loga1＝0.函数值特点x∈(0,1)⇒y∈；x∈[1，＋∞)⇒y∈x∈(0,1)⇒y∈；x∈[1，＋∞)⇒y∈(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1新课引入回顾学习过的函数，如一次函数、二次函数、指数函数等，我们都了解了它们的图象和性质．那么，对于对数函数上一节课，我们已经从其图象上认识了一些特征，明确了其过定点(1,0)，当a1时，y＝logax的图象是上升的，当0a1时，y＝logax的图象是下降的．知道了对数函数的定义域，现在我们重点研究一下对数函数的单调性及其应用，把感性认识上升为理性认识．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1自主预习复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为．增函数减函数第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1对于函数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1对于形如y＝logaf(x)(a0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)求f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1【思维拓展】(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1根据指数与对数的关系，将指数式y＝ax(a0，且a≠1)(其中x是自变量，且x∈R，y是x的函数，y∈(0，＋∞))化在对数式，即x＝logay，于是对任意一个y∈(0，＋∞)，通过式子x＝logay都有唯一一个x∈R与之对应，这样将y看成自变量，x是y的函数，这时我们就说x＝logay(y∈(0，＋∞))是函数y＝ax(x∈R)的反函数．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1由于习惯上我们常常将x看成自变量，而将y看成因变量，因此，我们将x＝logay中的x，y互换，写成y＝logax(x∈(0，＋∞))，即对数函数y＝logax(x∈(0，＋∞))是指数函数y＝ax(x∈R)的反函数(inversefunction)．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1通过以上所学，完成下列练习．(2009·广东)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB.12xC．log12xD．2x－2[答案]A第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1思路方法技巧第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1命题方向1对数型复合函数的单调性[例1]讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．[分析]观察题中函数，可发现底数是否大于1不明确，所以应对底数a是否大于1进行讨论，然后运用复合法来判断函数的单调性．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]由3x2－2x－10，得函数的定义域为{x|x1或x－13}．当a1时，若x1，∵u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．若x－13，∵u＝3x2－2x－1为减函数，第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．当0a1时，若x1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，若x－13，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1规律总结：求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1求函数y＝log0.1(2x2－5x－3)的单调减区间．[解析]依题意，得2x2－5x－30.解得x－12或x3.令u＝2x2－5x－3，函数u的递减区间为(－∞，－12)，递增区间为(3，＋∞)，则y＝log0.1(2x2－5x－3)的递减区间为(3，＋∞).第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1命题方向2对数型复合函数的值域[例2]求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log12(3＋2x－x2)．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u0，∴0u≤4.第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1又y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，∴log12u≥log124＝－2，∴y＝log12(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1(2010·山东高考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]A第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]∵3x＋11，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1建模应用引路第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1命题方向3对数型复合函数的奇偶性[例3]判断下列函数的奇偶性．(1)y＝log2|x|；(2)y＝lg1－x1＋x；(3)y＝lg(x－1)＋lg(x＋1)．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析](1)设f(x)＝log2|x|，f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，∴f(x)＝log2|x|为偶函数．(2)设f(x)＝lg1－x1＋x，f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg(1－x1＋x)－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴y＝lg1－x1＋x为奇函数．(3)由于x－10x＋10，∴x1，定义域不等于原点对称．∴此函数不具备奇偶性．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1判断下列函数奇偶性：(1)y＝log2x2；(2)y＝|log12x|；(3)y＝lg(1－x)＋lg(1＋x)．[答案](1)偶函数；(2)非奇偶性；(3)偶函数．第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1名师辩误做答第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[例4]已知函数y＝log2(x2－ax－a)值域为R，求实数a的取值范围．[错解]设f(x)＝x2－ax－a，则y＝log2f(x)，依题意，f(x)0恒成立，∴Δ＝a2＋4a0∴－4a0，即a的范围为(－4,0)第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[辨析]以上解法错误在于没有准确地理解y＝log2(x2－ax－a)值域为R的含义．根据对数函数的图像和性质，我们知道，当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y＝log2(x2－ax－a)的值域才为R.而当Δ0时，f(x)0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[正解]要使函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1课堂基础巩固第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修11．函数y＝log9(3－x)的定义域是()A．(－∞，3)B．(－∞，4)C．(－∞，5)D．(－∞，＋∞)[答案]A第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修12．关于函数f(x)＝log12(2x－13)的单调性的说法正确的是()A．在R上是增函数B．在R上是减函数C．在区间(16，＋∞)上是增函数D．在区间(16，＋∞)上是减函数[答案]D第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修13．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域为()A．[22，2]B．[－1,1]C．[12，2]D．(－∞，22]∪[2，＋∞)[答案]A第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]∵－1≤2log12x≤1，∴－12≤log12x≤12.∴log12(12)－12≤log12x≤log12(12)12.∴(12)12≤x≤(12)－12，即22≤x≤2.第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修14．设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A.2B．2C．22D．4[答案]D第二章2.22.2.2第2课时成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]由a1知，f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，所以f(x)max＝loga2a＝1＋loga2，f(x)min＝logaa＝1，所以loga2＝12，得a＝4.第二章2.22.2.2第2