【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第六章 第一节不等关系与不等式

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则ab___________(a,b0)或_____(a,b0)a=ba-b=0(b≠0)ab___________(a,b0)或_____(a,b0)a-b0a1ba1ba-b0a1ba1ba1b2.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab⇔____⇔传递性ab,bc⇒____⇒可加性ab⇔________⇔可乘性注意c的符号baaca+cb+c________abc0acbc________abc0acbc性质性质内容特别提醒同向可加性⇒同向同正可乘性⇒可乘方性(n∈N,n≥2)a，b同为正数可开方性(n∈N,n≥2)______________abcdacbd_________ab0cd0acbd________ab0nnab________ab0nnab3.不等式的倒数性质(1)a＞b,ab＞0⇒(2)a＜0＜b⇒(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒_.__11ab＜___.11ab＜___.abcd＞_____._11bx1a＜＜判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立.()(2)同向不等式具有可加性和可乘性.()(3)若两个数的比值大于1，那么分子就大于分母.()(4)一个数越大，它的倒数不一定越小.()【解析】(1)错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向.(2)错误.同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性.(3)错误.只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立.(4)正确.例如，23时，有但-22时，却有答案:(1)×(2)×(3)×(4)√11，2311-.221.若a0，-1b0，那么下列不等式中正确的是()(A)aab2ab(B)ab2aab(C)aabab2(D)ab2aba【解析】选A.因为-1b0,所以b0b21,于是aab2ab.2.若a1b，下列不等式中不一定成立的是()(A)a-b1-b(B)a-1b-1(C)a-11-b(D)1-ab-a【解析】选C.由a1知a-b1-b,故A正确；由ab知a-1b-1,故B正确;由1b知1-ab-a,故D正确，C项错误，如当a=3，b=-3时，不成立.3.x+y2m的一个充分不必要条件是()(A)xm或ym(B)xm且ym(C)xm且ym(D)xm或ym【解析】选B.由不等式的性质知，当xm且ym时必有x+y2m,但当x+y2m时，不一定有xm且ym,如当x=1,y=5,m=4时就不成立.4.与的大小关系是________.【解析】因为而所以即答案:3276，13232，17676,3276,11327632763276.5.已知-2a-1,-3b-2,则a-b的取值范围是________，a2+b2的取值范围是________.【解析】因为-2a-1,-3b-2,所以2-b3,于是0a-b2.又因为1a24,4b29,所以5a2+b213.答案:(0,2)(5,13)考向1用不等式(组)表示不等关系【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用变量和不等式表示，再组成不等式组即可.【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知,,,,,.x2y4002xy500x0xNy0yN【拓展提升】文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如下表：文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言＞＜≥≤【提醒】在不等式的应用题中，用不等式表示不等关系时，不可忽略自变量的限制条件.【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x0.而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)2+(12-x)2(13-x)2，故x应满足的不等关系如下：,(),()().()()2225x05x12x13x5x12x13x考向2比较大小【典例2】(1)若实数a≠1,比较a+2与的大小.(2)已知且a=cos2θ,b=cosθ-sinθ，试比较a与b的大小.【思路点拨】(1)运用作差法进行比较，同时注意对实数a进行讨论.(2)由于作差法不易比较，且a与b均为正数，可用作商法比较.31a(0,)4，【规范解答】(1)由于所以当a1时，有当a1时，有()()()3a21a3a21a1a，22aa1aa11aa1()，22133aa1a0244，2aa10a1；3a21a，2aa10a1.3a21a(2)由于θ∈所以2θ∈(0,)，故a=cos2θ0，且cosθsinθ，所以b0.而由于故即故必有ab.(0,)4，22acos2cossinbcossincossincossin2sin(),4(0,),(,),4442所以2sin()(,1),422sin()1,2,4a1b，2【互动探究】本例题(2)中，若将θ的取值范围改为：θ∈()，那么a与b大小关系如何？,42【解析】由于θ∈所以2θ故a=cos2θ0，且cosθsinθ，所以b0.而由于故即故必有ab.(,)42，(,)2，22acos2cossinbcossincossincossin2sin(),43(,)(,)42424，所以，2sin()(,1)42，2sin()1,2,4a1b，【拓展提升】1.作差法比较大小的方法步骤①作差：有的可直接作差，有的需转化后才可作差；②变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子(分母)有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；③定号：若a-b0，则ab；若a-b0，则ab等；④得结论.2.作商法比较大小的注意事项利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负，然后根据：若1，b0,则ab；若1，b0,则ab的原则进行判断.abab【变式备选】设x5，则P与Q的大小关系是________.【解析】而所以必有PQ.答案:PQPx4x5Qx2x3，，1Px4x5,x4x51Qx2x3,x2x3x4x5x2x3,考向3不等式的性质及其应用【典例3】(1)(2013·合肥模拟)已知a,b,c,d为实数，且cd，则“ab”是“a-cb-d”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)(2012·湖南高考)设ab1,c0，给出下列三个结论：①②ac＜bc；③logb(a-c)loga(b-c)，其中所有的正确结论的序号是()(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③(3)已知-32x-11，则的取值范围是_______.ccab＞；21x【思路点拨】(1)根据充分必要条件的定义进行判断，利用不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论.(2)可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较.(3)先求出x的范围，再求的范围，从而求出的取值范围.1x21x【规范解答】(1)选B.由于cd，所以-d-c，因此当ab时能够推出a-db-c，但不一定有a-cb-d，如a=3,b=2,c=4,d=1.但当cd且a-cb-d时，必有ab,所以是必要不充分条件.故选B.(2)选D.由不等式ab1知又c0，所以①正确；根据幂函数y=xc在(0，+∞)上的单调性知②正确；由ab1，c0知a-cb-c1-c1，由对数函数的图象与单调性知③正确.故选D.(3)由-32x-11，得-1x1，所以-1或或答案：(-∞,-3)∪(1,+∞)11ab，ccab＞，1x1212xx，于是22221311.xxx，故或【拓展提升】1.判断命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质法：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断.(2)利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性法：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.(3)取特殊值法：即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.2.正确运用倒数法则求范围涉及“取倒数求范围”等问题时，注意倒数法则的正确运用.一般地：①若xa,a0，则②若xa,a0，则或③若xa,a0，则④若xa,a0，则110.xa11xa10.x110.ax1110.xxa或【变式训练】(1)(2012·长沙模拟)下列命题中为真命题的是________.①若ab,则②若ab0,cd0,则③若ab,且a,b∈R,则④若α∈［-π,］，则1-sinα0.11algblg;2222adbc;ab11()();3323【解析】由于所以①是错误的；由于ab0,cd0,所以所以故所以②正确；由于函数是减函数，ab,所以故③正确；当时，1-sinα=0,故④不正确.答案:②③1lg0,222ab0,cd0,22acbd,22adbc,x1y()3ab11()(),332(2)若1α3,-4β2,则α-|β|的取值范围是_______.【解析】因为-4β2,所以0≤|β|4,于是-4-|β|≤0,又1α3,所以-3α-|β|3.答案:(-3,3)【创新体验】不等式与函数的融合【典例】(2012·浙江高考)设a0，b0()(A)若2a+2a=2b+3b，则a＞b(B)若2a+2a=2b+3b，则a＜b(C)若2a-2a=2b-3b，则a＞b(D)若2a-2a=2b-3b，则a＜b【思路点拨】找准创新点由等量关系研究不等量关系寻找突破口(1)利用不等式的性质得到2a+2a与2b+2b的大小关系以及2a-2a与2b-2b的大小关系(2)结合式子的特点构造函数f(x)=2x+2x或g(x)=2x-2x，研究其单调性(3)根据单调性，判断a与b的关系【规范解答】选A.由于a0,b0，且2a+2a=(2b+2b)+b，所以有2a+2a2b+2b，设函数f(x)=2x+2x，显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(a)f(b)，所以有ab.故A正确，B错误.又2a-2a=(2b-2b)-b，所以2a-2a2b-2b.设函数g(x)=2x-2