《素材》基本不等式及其应用《基本不等式及其应用》(上教版高一上册)

§7.4基本不等式及其应用(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.(2)ba＋ab≥(a，b同号).知识梳理1.基本不等式ab≤a＋b2a0，b0a＝b2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R).2ab2a＋b22(4)a2＋b22≥(a，b∈R).(3)ab≤(a，b∈R).a＋b22以上不等式等号成立的条件均为a＝b.设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.a＋b23.算术平均数与几何平均数ab4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最值.(简记：积定和最小)x＝y小2p(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最值.(简记：和定积最大)x＝y大p24不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立⇔；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立⇔.(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立⇔；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立⇔.知识拓展f(x)minA(x∈D)f(x)maxB(x∈D)f(x)maxA(x∈D)f(x)minB(x∈D)(3)恰成立问题：不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立⇔f(x)B的解集为D.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈(0，π2)的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.()思考辨析×××(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.()(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件.()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.()××√1.(教材改编)设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为A.80B.77C.81D.82考点自测答案解析∴x＋y2≥xy，∵x0，y0，即xy≤(x＋y2)2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.2.(教材改编)已知x0，a0，当y＝x＋ax取最小值时，x的值为A.1B.aC.aD.2a答案解析y＝x＋ax≥2a，当且仅当x＝ax即x＝a时，y＝x＋ax有最小值2a.3.若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是A.1ab≤14B.1a＋1b≤1C.ab≥2D.a2＋b2≥8答案解析4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，1ab≥14，选项A，C不成立；1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.4.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______.22答案解析因为x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取等号，所以x2＋2y2的最小值为22.5.(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案解析25∴y＝x(10－x)≤[x＋10－x2]2＝25，设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，12当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题型分类深度剖析题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为______.答案解析23x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·[3x＋4－3x2]2＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号.23(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为_____.1答案解析54因为x，所以5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(3)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________.答案解析23＋2y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当(x－1)＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立.例2已知a0，b0，a＋b＝1，则的最小值为___.命题点2通过常数代换法利用基本不等式1a＋1b答案解析4∵a0，b0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立.引申探究1.条件不变，求(1＋1a)(1＋1b)的最小值.解答(1＋1a)(1＋1b)＝(1＋a＋ba)(1＋a＋bb)＝(2＋ba)·(2＋ab)＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号.122.已知a0，b0，1a＋1b＝4，求a＋b的最小值.解答由1a＋1b＝4，得14a＋14b＝1.∴a＋b＝(14a＋14b)(a＋b)＝12＋b4a＋a4b≥12＋2b4a·a4b＝1.当且仅当a＝b＝12时取等号.3.将条件改为a＋2b＝3，求1a＋1b的最小值.解答∴13a＋23b＝1，当且仅当a＝2b时，取等号.∵a＋2b＝3，∴1a＋1b＝(1a＋1b)(13a＋23b)＝13＋23＋a3b＋2b3a≥1＋2a3b·2b3a＝1＋223.思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.跟踪训练1(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.答案解析5(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若(m0)的最小值为3，则m＝____.答案解析4121x＋my题型二基本不等式的实际应用例3某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；km＋1解答(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？∵m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元).∴y≤－8＋29＝21，解答故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.跟踪训练2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_______件.答案解析x880y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.设每件产品的平均费用为y元，由题意得当且仅当800x＝x8(x0)，即x＝80时“＝”成立.(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是___万元.8答案解析题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(1)(2016·菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是A.9B.8C.4D.24b＋1c答案解析(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________.Sn＋8an答案解析92an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋n2，∴Sn＋8an＝n1＋n2＋8n＝12(n＋16n＋1)≥12(2n·16n＋1)＝92，当且仅当n＝4时取等号.∴Sn＋8an的最小值是92.命题点2求参数值或取值范围例5(1)已知a0，b0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为A.9B.12C.18D.24答案解析(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________.答案解析[－83，＋∞)思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练3(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是A.12B.32C.1D.2答案解析ax由题意可得a0，①当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号，所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.几何画板展示(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为A.32B.53C.94D.256答案解析利用基本不等式求最值现场纠错系列9利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.典例(1)已知x0，y0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________.(2)函数y＝1－2x－3x(x0)的值域为________.错解展示现场纠错纠错心得课时作业1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是A.a＋b≥2abB.ab＋ba≥2C.|ab＋ba|≥2D.a2＋b22ab√1234567891011121314答案解析因为ab和ba同号，所以|ab＋ba|＝|ab|＋|ba|≥2.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”成立的√答案解析1234567891011121314即a2＋b2≥2ab，而ab＋ba≥2⇔ab0，因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”的必要不充分条件，故选B.12345678910111213143.3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为A.9B.92C.3D.322√答案解析3－aa＋6≤3－a＋a＋