余弦定理2PPT

1.1.2（二）一、忆一忆1.正弦定理：2sinsinsinabcRABC（其中：R为△ABC的外接圆半径）3.正弦定理的变形：222sin,sin,sinaRAbRBcRC222sin,sin,sinabcABCRRRsin:sin:sin::ABCabc2.三角形面积公式：111222sinsinsinABCSbcAcaBabC2sinsinsinabcRABC1.1.2（二）一、忆一忆222222222222coscoscosbcaAbccabBcaabcCab4.余弦定理及其推论：5.在△中，常见公式有：ABCABCsin()sinABCcos()cosABC2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC1.1.2（二）探究点一已知两边及其中一边的对角，利用余弦定理解三角形问题在△ABC中，已知两边及其中一边的对角，解三角形．一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形？研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）探究在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3解析由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴12＝1＋c2－32×1×c，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．B研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）探究点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式问题如何利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式？证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）探究在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明方法一(1)由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）方法二(1)由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，∴bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝a2＋b2－c22a＋a2＋c2－b22a＝2a22a＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）探究点三利用正、余弦定理解决三角形的有关问题问题利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题:如面积、角、边等，你能根据已知条件选择合适的解决方法吗？研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）【典型例题】例1在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，已知(a＋b－c)(a－b＋c)＝bc，求A.解∵(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(b－c)]·[a－(b－c)]＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc.∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.小结余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）例2在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．解方法一∵AB＝23，AC＝2，B＝30°，∴根据正弦定理，有sinC＝AB·sinBAC＝32.由已知AB＞AC，所以C＞B，则C有两解，当C为锐角时，C＝60°，A＝90°.根据三角形面积公式，得S＝12AB·AC·sinA＝23.当C为钝角时，C＝120°，A＝30°.∴S＝12AB·AC·sinA＝12×23×2sin30°＝3.∴△ABC的面积是23或3.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）方法二设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴22＝a2＋(23)2－2a×23cos30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，S＝12acsinB＝12×2×23×sin30°＝3；当a＝4时，S＝23.∴△ABC的面积是23或3.小结本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）例3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积为4，求b、c的值．解(1)∵cosB＝35，∴sinB＝45.由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝absinB＝25.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝45c＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2（二）1．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°解析∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12absinC，∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.B练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.2（二）2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c＝2，b＝2a，且cosC＝14，则a等于()A．2B．12C．1D．13解析由cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4a2－222a×2a＝14，得a＝1.C练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.2（二）3．在△ABC中，cosB＝12，b2－ac＝0，则△ABC的形状为三角形．解析∵cosB＝12，∴B＝60°.∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.∴△ABC为等边三角形．等边练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.2（二）4．在△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．解析在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即49＝BC2＋25－2×BC×5×(－12)，整理得BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．S△ABC＝12·AB·BC·sin120°＝12×5×3×32＝1534.1534练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.2（二）1.1.2（二）1.1.2（二）1.1.2（二）1.1.2（二）1.1.2（二）1.1.2（二）一、选择题（每题4分，共16分）1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，A=a=b=1，则边c等于()（A）2（B）1（C）（D）-1【解析】选A.由a2=c2+b2-2bccosA，得3=c2+1-c，解得c=2或c=-1(舍去).,33,331.1.2（二）2.（2010·临沂高二检测）△ABC为钝角三角形，a=3，b=4，c=x，C为钝角，则x的取值范围是()（A）5＜x＜7（B）x＜5（C）1＜x＜5（D）1＜x＜7【解析】选A.显然有x＜3+4，即x＜7，又C为钝角，∴cosC=＜0，∴x2＞25，x＞5，∴5＜x＜7.222a+b-x2ab1.1.2（二）3.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，设向量＝（a+c，b），=(a-c，b-a)，若⊥，则角C大小为()（A）（B）（C）（D）【解析】选C.∵⊥，∴(a+c)(a-c)+b(b-a)=0，即a2+b2-c2=ab，∴cosC=∴C=pqpq222a+b-c1,2ab2pq4236.31.1.2（二）4.(2010·洛阳高二检测)在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，则△ABC必定是()（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形【解题提示】将角化为边或边化为角来判断三角形形状.1.1.2（二）【解析】选D.方法一：∵sinA-2sinBcosC=0，∴由正弦定理知a=2bcosC，再由余弦定理得∴b2=c2，b=c，.方法二：由sinA=sin(B+C)，∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0，即sinCcosB-cosCsinB=0，sin(C-B)=0，∴C-B=0，即C=B.222aa+b-c,2b2ab1.1.2（二）二、填空题（每题4分，共8分）5.（2010·北京高考）在△ABC中，若b=1，c=角C=则a=____.【解析】由余弦定理得，a2+12-2×a×1×cos=3，即a2+a-2=0，解得a=1或-2（舍）.答案：13,2,3231.1.2（二）6.(2010·开封高二检测)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=∶4∶5，则角A＝____.【解题提示】先由正弦定理得出边的比，再由余弦定理求角A.211.1.2（二）【解析】∵sinA∶sinB∶sinC=∶4∶5，∴a∶b∶c=∶4∶5，不妨设a=b=4，c=5，则cosA=∴A=60°.答案：60°16+25-211=.24522121,211.1.2（二）三、解答题（每题8分，共16分）7.(2010·日照高二检测)已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2+c2-b2=ac.(1)求角B的大小；（2）若c=3a，求tanA的值.1.1.2（二）【解析】（1）由余弦定理，得∵0＜B＜π，∴B=(2)方法一：将c=3a代入a2+c2-b2=ac，得b=a，由余弦定理，得∵0＜A＜π，∴∴222a+c-b1cosB=,2ac27222b+c-a57cosA=,2bc14221sinA=1-cosA=14sinA3tanA==.cosA5.31.1.2（二）方法二：将c=3a代入a2+c2-b2=ac，得b=a，由正弦定理，得sinB=sinA.∵B=∴sinA=又b=a＞a，∴B＞A，∴∴7721,14,37257cosA=1-sinA=,14sinA3tanA==.cosA51.1.2（二）8.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且（1）求B的大小；（2）若a+c=4，求a的值.cosBb=-.cosC2a+cb=13,1.1.2（二）【解析】1.1.2（二）(2)将a+c=4，B=代入b2=a2+c2-2accosB得，13=a2+(4-a)2-2a(4-a)·cos即a2-4a+3=0.解得a=1或a=3.b=13,2,32,31.1.2（二）