《高等数学》训练题：导数的应用及答案

《高等数学》单元训练题第3章—中值定理与导数的应用第8页共10页一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）．]1,1[,)()](2,23[,sin)()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2xxfDxxfCxxfBxxfA2、函数f(x)=sinx在[0，]上满足罗尔定理结论的ξ=（）．（A）0（B）2（C）（D）233、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（）．（A）)ln(lnx（B）xln（C）)2ln(x（D）xln14、函数f(x)=2x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（）．(A)43(B)0(C)43(D)15、函数xxy4的单调减区间为（）．(A)(,2),(2,)(B))2,2((C)(,0),(0,)(D)(2,0),(0,2)6、若x0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（）．(A)0)(0xf(B)0)(0xf(C))(0xf不存在(D)0)(0xf或)(0xf不存在7、若在（a，b）内，0)(,0)(xfxf，则f(x)在（a，b）内为（）．(A)单调上升而且是凸的(B)单调上升而且是凹的(C)单调下降而且是凸的(D)单调下降而且是凹的8、曲线29623xxxy的拐点是（）．（A）（1，6）（B）（2，3）（C）（2，4）（D）（3，2）9、()yfx在(a,b)内可导，且12axxb，则下列式子正确的是（）．（A）在12(,)xx内只有一点，使2121()()()fxfxfxx成立；（B）在12(,)xx内任一点处均有2121()()()fxfxfxx成立；（C）在1(,)ax内至少有一点，使11()()()fxfafxa成立；（D）在12(,)xx内至少有一点，使2121()()()fxfxfxx成立．10、求下列极限时，（）可用罗必达法则得出结果．（A）sinlimsinxxxxx；（B）22sinlimxxx；（C）21limxxx；（D）lim(arctan)2xxx．11、下列命题中正确的是（）．（A）若0x为()fx的极值点，则必有0()0fx；（B）若0()0fx，则0x必为()fx的极值点；（C）若()fx在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值；《高等数学》单元训练题第3章—中值定理与导数的应用第9页共10页（D）若0x为函数()yfx的极值点，则0()0fx或0()fx不存在．12、设0xx为()yfx的驻点，则()yfx在0x处必定（）．（A）不可导（B）不连续（C）有极值（D）曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线平行x轴．13、曲线ln1xyx，则（）．（A）有一条水平渐近线（B）有一条铅直渐近线（C）有一条水平渐近线，又有一条铅直渐近线（D）没有水平与铅直渐近线14、432yxx在其定义域内（）．（A）有两个极值点（B）有一个极值点（C）有三个极值点（D）无极值点15、曲线111yx的渐近线是（）．（A）只有一条水平渐近线（B）只有一条铅直渐近线（C）有一条水平渐近线和一条铅直渐近线（D）无渐近线16、设函数()fx在[0,1]上可导,()0fx,并且(0)0,(1)0ff,则()fx在(0,1)内().（A）至少有两个零点（B）有且仅有一个零点（C）没有零点（D）零点个数不能确定17、曲线24624yxxx的凸区间是（）。（A）(2,2)（B）(,0)（C）(0,)（D）(,)18、函数xye在定义域内是严格单调（）。（A）递增且是凹的（B）递增且是凸的（C）递减且是凹的（D）递减且是凸的19、设31()3fxxx，则1x为()fx在[-2,2]上的（）。（A）极小值点，但不是最小值点（B）极小值点，也是最小值点（C）极大值点，但不是最大值点（D）极大值点，也是最大值点20、函数arctanyxx在(,)内是（）。（A）单调递增（B）单调递减（C）不单调（D）不连续二、填空题21、02lim_________sinxxxeexxx．22、0lim_______sinxxxeex．23、201sinlim_______sinxxxx．24、2ln(1)lim_______1xxex．25、320limln_______xxx．26、曲线)1ln(2xy的拐点是_______________．27、若1()sinsin33fxaxx在3x处有极值，则a=_____________．《高等数学》单元训练题第3章—中值定理与导数的应用第10页共10页28、曲线xyxe的凹区间是_____________．29、设函数()fx在0x处可导，则0x为()fx的极值点是0x为()fx的驻点的_____________条件．30、设函数()fx二阶可导，则()fx的二阶导数为0的点是曲线()yfx的拐点的_______条件．三、计算题31、0coslimsinxxexx．32、30sinlimxxxx．33、1ln(1)limtan2xxxx．34、10limsin2cosxxxx．35、40[sinsin(sin)]sinlimxxxxx。36、30arctanlimln(12)xxxx。37、2011limtanxxxx。38、20112limxxxx。39、2sin0lim(13)xxx。40、011limcotsinxxxx。41、20ln(1sin2)limarcsin()xxxx。42、1lim(1)xxx。四、综合题43、讨论函数21)(xxxf的单调区间和极值．44、求函数lnxyx的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点。45、设曲线cxbxaxy23在点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求此曲线方程．五、证明题46、用拉格朗日中值定理证明：0,lnabaabababb．47、利用函数的单调性证明：0ln(1)1xxxx，有不等式．48、设2eabe，证明2224lnln()babae。六、应用题49、设有一长8cm、宽5cm的矩形铁片，在每个角上剪去同样大小的正方形．问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大．50、一房地产公司有50套公寓要出租．当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费．试问房租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？《高等数学》单元训练题第3章—中值定理与导数的应用第11页共10页第三章微分中值定理与导数的应用参考答案一、选择题12345678910CBBDDDCCDD11121314151617181920DDCBCBACBA二、填空题21、2．22、2．23、0．24、1．25、0．26、(1,ln2),(1,ln2)．27、2．28、(2,)．29、充分非必要条件．30、必要非充分条件．三、计算题31、1．32、16．33、0．34、2e．36、16．35、原式=3220000sinsin(sin)coscoscos(sin)1cos(sin)cossin(sin)1limlimlimlim3366xxxxxxxxxxxxxxxx．37、原式=2223320000tantansec12sectan1limlimlimlimtantan363xxxxxxxxxxxxxxxxxxx．38、原式=2222220001(11)42(11)12limlimlim424[112]xxxxxxxxxxxx．39、原式=60023213limexpln(13)limexpsincosxxxxexx．40、原式=300011sinsin1limcotlimlimsinsintan6xxxxxxxxxxxxxx.41、2．42、1．四、综合题43、f(x)在(,1),(1,)上单调减少，在（-1，1）上单调增加；极大值为1(1)2f，极小值为1(1)2f．32(0,)e44、x(0,)ee32(,)ee32e32(,)ey+0--y---0+y极大值1e拐点3232(,32)ee45、33yxx.五、证明题46、提示：对函数()lnfxx在[a,b]上用拉格朗日中值定理．47、证明：设函数()ln(1)1xfxxx，则f(x)在区间[0,)上连续．又2211()111xfxxxx（）（）．当x0时，有()0fx，所以f(x)在区间[0,)上单调增加．因此当x0时，有f(x)f(0)=0，即ln(1)01xxx．《高等数学》单元训练题第3章—中值定理与导数的应用第12页共10页故当x0时，有ln(1)1xxx．48、提示：由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数224()lnfxxxe．则22ln41ln()2,()2xxfxfxxex．显然当xe时，()0fx，即()fx严格单调递减，(,)xe．所以当2exe时2()()0fxfe．因此当2exe时，()fx严格单调递增，即()()fafb，从而222244lnlnbbaaee，所以2224lnln()babae．证毕．六、应用题49、当剪去小正方形的边长为1cm时，做成的开口盒子的容积最大．50、当每套月租金为1800元时，收入最大；最大收入为57800元．