复数的几何意义习题

[学业水平训练]1．下列不等式正确的是()A．3i＞2iB．|2＋3i|＞|1－4i|C．|2－i|＞2D．i＞－i解析：选C．两虚数不能比较大小，A、D错误；又|2＋3i|＝13＜|1－4i|＝17，B不正确，故选C．2．给出复平面内的以下各点：A(3,1)，B(－2,0)，C(0,4)，D(0，0)，E(－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C．A，C，E三点对应的复数分别为3＋i,4i，－1－5i，是虚数，B，D对应的是实数，因此共有3个点．3．向量OA→对应的复数为1＋4i，向量OB→对应的复数为－3＋6i，则向量OA→＋OB→对应的复数为()A．－3＋2iB．－2＋10iC．4－2iD．－12i解析：选B.向量OA→对应的复数为1＋4i，向量OB→对应的复数为－3＋6i，所以OA→＝(1,4)，OB→＝(－3,6)，所以OA→＋OB→＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，所以向量OA→＋OB→对应的复数为－2＋10i.4．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．a＜－1或a＞1B．－1＜a＜1C．a＞1D．a＞0解析：选B.∵|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，∴a2＋4＜5，即a2＋4＜5，∴a2＜1，即－1＜a＜1.5．(2014·石家庄高二检测)复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠0C．a＝0D．a＝2或a＝0解析：选D．因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.6．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2mi的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．解析：由表示复数z＝(m－3)＋2mi的点位于直线y＝x上，得m－3＝2m，解得m＝9.答案：97．已知复数z＝(a－2)＋i对应的点在第一象限，且|z|＝17，则实数a＝________.解析：据题意得(a－2)2＋1＝17，即a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6.当a＝－2时，z＝－4＋i对应的点位于第二象限，与题意不符；当a＝6时，z＝4＋i对应的点在第一象限，满足条件，故实数a＝6.答案：68．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由题意，得x＋yi－x2＋y2＝－1＋i，即(x－x2＋y2)＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件，得x－x2＋y2＝－1，y＝1.解得x＝0，y＝1，∴z＝i.法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，等式两边取模，得|z|＝|z|－12＋12.两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.答案：i9．求复数z1＝3＋4i及z2＝－12－2i的模，并比较它们的模的大小．解：|z1|＝32＋42＝5，|z2|＝－122＋－22＝32.∵5＞32，∴|z1|＞|z2|.10．在复平面内画出复数z1＝12＋32i，z2＝－1，z3＝12－32i对应的向量OZ1→，OZ2→，OZ3→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为(12，32)，(－1,0)，(12，－32)，则向量OZ1→，OZ2→，OZ3→如图所示．|z1|＝122＋322＝1，|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝122＋－322＝1.如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．[高考水平训练]1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆解析：选A.由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.又∵|z|＞0，∴|z|＝－1(舍去)，∴|z|＝3.故复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．故选A.2．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．解析：复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以a－2＜0，a＋1＞0，解得－1＜a＜2.由条件得|z|＝a－22＋a＋12＝2a2－2a＋5＝2a2－a＋14＋92＝2a－122＋92，因为－1＜a＜2，所以|z|∈(322，3)．答案：(322，3)3．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点(1)位于第四象限？(2)位于第一、三象限？(3)位于直线y＝x上？解：(1)由m2－8m＋15＞0m2－5m－14＜0⇒m＜3或m＞5，－2＜m＜7.解得－2＜m＜3或5＜m＜7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由m2－8m＋15＞0m2－5m－14＞0或m2－8m＋15＜0，m2－5m－14＜0.可等价转化为(m2－8m＋15)(m2－5m－14)＞0，即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)＞0，利用“数轴标根法”可得：m＜－2或3＜m＜5或m＞7，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数对应的点在直线y＝x上，需m2－8m＋15＝m2－5m－14，解得m＝293.此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．4．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解：如图，∵|z|＝1，z的轨迹可看成半径为1，圆心为点(0,0)的圆．而z1对应坐标系中的点Z1(2，－2)，∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)与圆上的点的最大距离，由图知|z－z1|max＝22＋1.