高中数学基础知识大全(全国新课标版)

第1页高中数学基础知识大全（新课标版）第一部分集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1)元素与集合的关系：UxAxCA,UxCAxA.（2）德摩根公式：();()UUUUUUCABCACBCABCACB.（3）ABAABBUUABCBCAUACBUCABR注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况.（4）集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n–2个.4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数1．映射：注意:①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式2222babaab；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa、xsin、xcos等）；⑨平方法；⑩导数法3．复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．．⑵)(xf是奇函数)()(xfxf；)(xf是偶函数)()(xfxf.⑶奇函数)(xf在0处有定义，则0)0(f第2页⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6．函数的单调性:⑴单调性的定义：①)(xf在区间M上是增函数,,21Mxx当21xx时有12()()fxfx；②)(xf在区间M上是减函数,,21Mxx当21xx时有12()()fxfx；⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②复合函数法③图像法注：证明单调性主要用定义法。7．函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期：①2:sinTxy；②2:cosTxy；③Txy:tan；④||2:)cos(),sin(TxAyxAy；⑤||:tanTxy(3)与周期有关的结论：)()(axfaxf或)0)(()2(axfaxf)(xf的周期为a28．基本初等函数的图像与性质：㈠.⑴指数函数：)1,0(aaayx；⑵对数函数:)1,0(logaaxya；⑶幂函数：xy（)R；⑷正弦函数:xysin；⑸余弦函数：xycos；（6）正切函数：xytan；⑺一元二次函数：02cbxax（a≠0）；⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(kkxy；②反比例函数：)0(kxky；③函数)0(axaxy㈡.⑴分数指数幂：mnmnaa；1mnmnaa（以上0,,amnN，且1n）.⑵.①bNNaablog；②NMMNaaalogloglog；③NMNMaaalogloglog；④loglogmnaanbbm.⑶.对数的换底公式:logloglogmamNNa.对数恒等式:logaNaN.9．二次函数：⑴解析式：①一般式：cbxaxxf2)(；②顶点式：khxaxf2)()(，),(kh为顶点；第3页③零点式：))(()(21xxxxaxf（a≠0）.⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，。10．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：①平移变换：ⅰ))()(axfyxfy，)0(a———左“+”右“－”；ⅱ))0(,)()(kkxfyxfy———上“+”下“－”；②对称变换：ⅰ))(xfy)0,0()(xfy；ⅱ))(xfy0y)(xfy；ⅲ))(xfy0x)(xfy；ⅳ))(xfyxy()xfy；③翻折变换：ⅰ)|)(|)(xfyxfy———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(xfyxfy———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(xf的根）；⑵图象法；⑶二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180('1857⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：22121RlRS。2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P),(yx,设rOP||则：,cos,sinrxryxytan3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”5．⑴)sin(xAy对称轴：令2xk，得;x对称中心：))(0,(Zkk；⑵)cos(xAy对称轴：令kx，得kx；对称中心：))(0,2(Zkk；⑶周期公式:①函数sin()yAx及cos()yAx的周期2T(A、ω、为常数，第4页且A≠0).②函数xAytan的周期T(A、ω、为常数，且A≠0).6．同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin227．三角函数的单调区间及对称性：⑴sinyx的单调递增区间为2,222kkkZ,单调递减区间为32,222kkkZ，对称轴为()2xkkZ,对称中心为,0k()kZ.⑵cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ,单调递减区间为2,2kkkZ，对称轴为()xkkZ,对称中心为,02k()kZ.⑶tanyx的单调递增区间为,22kkkZ，对称中心为0,2kZk.8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tantantan()1tantan.②22sin()sin()sinsin；22cos()cos()cossin.③sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)ab所在的象限决定,tanba).9．二倍角公式：①cossin22sin.2(sincos)12sincos1sin2②2222cos2cossin2cos112sin（升幂公式）.221cos21cos2cos,sin22（降幂公式）.10．正、余弦定理：⑴正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（R2是ABC外接圆直径）注：①CBAcbasin:sin:sin::；②CRcBRbARasin2,sin2,sin2；③CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin。⑵余弦定理：Abccbacos2222等三个；bcacbA2cos222等三个。第5页11.几个公式:⑴三角形面积公式：①111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）；②111sinsinsin222SabCbcAcaB.③221(||||)()2OABSOAOBOAOB⑵内切圆半径r=cbaSABC2；外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa第四部分平面向量1.平面上两点间的距离公式:,ABd222121()()xxyy，其中A11(,)xy，B22(,)xy.2.向量的平行与垂直：设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则：①a∥bb=λa12210xyxy；②ab(a0)a·b=012120xxyy.3.a·b=|a||b|cosa,b=x1x2+y1y2；注：①|a|cosa,b叫做a在b方向上的投影；|b|cosa,b叫做b在a方向上的投影；②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cosa,b的乘积。4.cosa,b=||||baba；5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线xy1OPxOAyOB且。第五部分数列1．定义：BnAnSbknaNnnaaandaaNnddaaannnnnnnn2111n1n*),2(2)2(,()1(）为常数｝等差数列｛⑵等比数列)Nn2,(n)0(}1n1-n2n1nnaaaqqaaan｛2．等差、等比数列性质：等差数列等比数列通项公式dnaan)1(111nnqaa第6页前n项和dnnnaaanSnn2)1(2)(11qqaaqqaSqnaSqnnnn11)1(1.2;1.1111时，时，性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq③,,,232kkkkkSSSSS成AP③,,,232kkkkkSSSSS成GP④,,,2mkmkkaaa成AP,mdd'④,,,2mkmkkaaa成GP,mqq'3．常见数列通项的求法：⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（nnncaa1型）；⑶公式法：⑷累乘法（nnncaa1型）；⑸待定系数法（bkaann1型）转化为)(1xakxann（6）间接法（例如：4114111nnnnnnaaaaaa）；（7）（理科）数学归纳法。4．前n项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。5．等差数列前n项和最值的求法：⑴nS最大值000011nnnnnaaSaa最小值或；⑵利用二次函数的图象与性质。第六部分不等式1．均值不等式：)0,(2222bababaab注意：①一正二定三相等；②变形：),(2)2(222Rbababaab。2．极值定理：已