归纳推理与类比推理练习题

《归纳推理与类比推理》第二课时讲课材料2.已知数列{}na的前n项和为nS，且11a，2nnSna*()nN，可归纳猜想出nS的表达式为(）A．21nnB．311nnC．212nnD．22nn3.观察下图，可推断出“x”应该填的数字是()A．171B．183C．205D．2684.观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．495.观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．926.古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．13787.将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2010出现在()A．第44行第75列B．第45行第75列C．第44行第74列D．第45行第74列8.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A．11010B．01100C．10111D．000119.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D10.设函数()(0)2xfxxx,观察:1()(),2xfxfxx21()(()),34xfxffxx32()(()),78xfxffxx43()(()),1516xfxffxx根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且2n时1()(())nnfxffx。11.观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝_______12.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋at＝7at，(a，t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t＝______.13.设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．14.已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2012项为____15.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）2cos48（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.1.下面使用类比推理，得出正确结论的是(C）A．“若33ab,则ab”类推出“若00ab,则ab”B．“若()abcacbc”类推出“()abcacbc”C．“若()abcacbc”类推出“ababccc(c≠0）”D．“nnaabn（b）”类推出“nnaabn（b）”2.已知数列{}na的前n项和为nS，且11a，2nnSna*()nN，可归纳猜想出nS的表达式为(A）A．21nnB．311nnC．212nnD．22nn3.观察下图，可推断出“x”应该填的数字是(B)A．171B．183C．205D．268[解析]由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12＋32＋42＋62＝62,22＋42＋52＋82＝109，所以“x”处该填的数字是32＋52＋72＋102＝183.4.观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为(B)A．01B．43C．07D．49[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.5.观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(B)A．76B．80C．86D．92[解析]个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，因此|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为4＋4(20－1)＝80，故选B.6.古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A．289B．1024C．1225D．1378[解析]将三角形数记作an，正方形数记作bn，则an＝1＋2＋…＋n＝nn＋12，bn＝n2，由于1225＝352＝49×49＋12，故选C.7.将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2010出现在(D)A．第44行第75列B．第45行第75列C．第44行第74列D．第45行第74列[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且19362010,20252010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.8.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是(B)A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D[解析]观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.9.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(C)A．11010B．01100C．10111D．00011[解析]对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.10正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(B)（A）16（B）14（C）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可12.（山东理15）设函数()(0)2xfxxx,观察:1()(),2xfxfxx21()(()),34xfxffxx32()(()),78xfxffxx43()(()),1516xfxffxx根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且2n时，1()(())nnfxffx.【答案】(21)2nnxx11.观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝___962[解析]由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.12.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋at＝7at，(a，t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t＝__55______.[解析]类比所给等式可知a＝7，且7t＋a＝72·a，即7t＋7＝73，∴t＝48.∴a＋t＝55.13.设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案]f(2n)≥n＋22(n∈N*)14.已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2012项为____15.9.【2012高考真题福建理17】（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.