数学美欣赏第1章数学的简洁性

1数学美欣赏(内容选自《数学美拾趣》、《数学聊斋》和《直观几何》)课程简介了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界.学习要求1.用U盘复制电子讲稿，并打印.2.课后认真阅读讲稿.3.适当安排若干次课堂独立作业.做课堂作业时,允许参考本讲稿,可以摘录讲稿内容.考核要求1.进行期中考试和期末考试，均为开卷.2.期末总评成绩=期中考试成绩×50%+期末考试成绩×50%.3.期中考试、期末考试和课堂独立作业中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题,题型均为问答题.第1讲2第1章数学的简洁性序言著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁.数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了.自然界原本就是简洁的：光是沿直线方向传播的——这是光传播的最捷路线.植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局.某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的.大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是54448，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种3角度).在人体中，人的粗细血管直径之比总是32:1，这种比值的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少.生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的.这些最佳、最好、最省、……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐.宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的文字和工具也应当是简洁与和谐的.诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”．太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、……，圆的线条明快、简练、对称.近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大.4无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美.数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)，……，数学拒绝繁冗.正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理.数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有1，2，22，32，…，2n克的砝码，只允许其放在天平的一端，利用它们可称出1——1122122221nnn之间的任何整数克重物体的重量.例如，当3n时，我们有4个砝码：1克，2克，22克和32克，即1克，2克，4克和8克.利用它们，我们可称出1克——3121克(即15克)之间的任何整数克重物体的重量,即可称出1克，2克,3克,…,15克的重量.这由下表可以明白.5重量(克)12345678砝码组合1212414241248重量(克)9101112131415砝码组合1828128481482481248这个问题其实与数的二进制有关.进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有1，3，23，33，…，3n克重的砝码，允许其放在天平两端，利用它们可以称出1----11231333312nnn之间任何整数克重物体的重量.例如，当2n时，我们有3个砝码：1克，3克和23克，即1克，3克和9克.利用它们，我们可称出1克——21312克(即13克)之间的任何整数克重物体的重量,即可称出1克,2克,3克,…,13克的重量.这由下表可以明白.重量(克)1234567砝码组合13131391393193重量(克)8910111213砝码组合9191939139139以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁6性使然.下面的所谓“省刻度尺问题”,尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：一根6cm长的尺子，只须刻上两个刻度(在1cm和4cm处)，就可量出1cm——6cm之间任何整数厘米长的物体长，即可量出1cm，2cm，3cm，4cm，5cm和6cm的长度(下简称“完全度量”).若用ab表示从a量到b的话，那么具体度量如下：1(01)，2(46)，3(14)，4(04)，5(16)，6(06).一根13cm的尺子，只须在1cm，4cm，5cm和11cm四处刻上刻度，便可完成1——13cm的完全度量.具体度量如下：1(01),2(1113),3(14),4(04),5(05),6(511),7(411),8(513),9(413),10(111),11(011),12(113),13(013).7对于22cm的尺子，只须刻上六个刻度，即在：1cm，2cm，3cm，8cm，13cm和18cm；或者1cm，4cm，5cm，12cm，14cm和20cm处刻上刻度，可完成1——22cm的完全度量.对于23cm的尺子来讲，也只须六个刻度：1cm，4cm，10cm，16cm，18cm和21cm，便可完成1——23cm的完全度量.一根36cm的尺子，只须在1cm，3cm，6cm，13cm，20cm，27cm，31cm和35cm处刻上八个刻度，便可完成1cm——36cm的完全度量.对于40cm的尺子，刻上九个刻度：1cm，2cm，3cm，4cm，10cm，17cm，24cm，29cm和35cm，即可完成1——40cm的完全度量.8这类问题与应用数学中所谓最优化方法有关，这门学科的核心是最省、最好(对效益讲是最大).用“少”去表现“多”，或者求极大、极小等，均是数学简洁性的另类表现.比如“植树问题”.英国数学家、物理学家牛顿曾经很喜欢下面一类题目：9棵树栽9行，每行栽3棵，如何栽?乍看此题似乎无解，其实不然，看了左下图(图中黑点表示树的位置，下同)，你会恍然大悟！牛顿还发现：9棵树每行栽3棵，可栽行数的最大值不是9，而是10，见右上图.左下图给出10棵树，栽10行，每行栽3棵的栽法.9其实，10棵树，每行栽3棵，可栽的最多行数也不是10，而是12，见右上图.英国数学家、逻辑学家道奇生在其童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出下面一道植树问题：10棵树，栽成5行，每行栽4棵，如何栽?此题答案据说有300种之多，下面诸图给出了其中的几种.十九世纪末，英国的数学游戏大师杜登尼在其所著《520个趣味数学难题》中也提出了下面的问题：16棵树，栽成15行，10每行栽4棵，如何栽?杜登尼的答案见左下图.美国趣味数学大师山姆·洛伊德曾花费大量精力研究“20棵树，每行栽4棵，至多可栽多少行”，他给出了可栽18行的答案，见右下图.几年前人们借助于电子计算机给出了上述问题可栽20行的最佳方案，见左下图.11稍后曾见报载，国内有人给出可栽21行的方案(右上图)，然而严格的验证工作恐非易事——这些点是否真的共线?既便结论无误，但它是否是可栽的最多行数，人们尚不得而知.在英国数学家薛尔维斯特在临终前几年(1893年)提出了一个貌似简单的问题：对于在平面上不全共线的任意n个点，总可以找到一条直线，使其仅过其中的两个点.直到1933年，人们才找到一个繁琐的证明.此后，1944年、1948年又先后有人给出了证明.1980年前后，《美国科学新闻》杂志重提旧事时，又一次向人们介绍了薛尔维斯特问题和凯利于1948年给出的证明.我们很容易体会到：一个定理(或习题)证明(或解法)的简化，将认为是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的.由于简洁，数学语言(包括图形)不仅能描述世界上的万物，而且也能为世界上所有文明社会所接受和理解，甚至还将成为与其它星球上的居民(如果存在的话)交流思想的工具.在为美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“先驱者号飞船”(探测器)征集所携带的礼物时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示勾股定理(毕达哥拉12斯定理)的简单、明快的数形图，它似乎应为宇宙所有文明生物所理解.22234522281517数学中的简洁性的例子是不胜枚举的：比如三角形，尽管它有千姿百态，但人们却可用12Sah(a为底边长，h为该边上高)或海伦公式Sppapbpc(p为三角形半周长)去表达所有三角形的面积.数学的简洁性系指其抽象性、概括性和统一性.正是因为数学具有抽象性和统一性，因而其形式应当是简单的.实现数学的简单性(抽象、统一)的重要手段是使用数学符号.13附录有趣的数制十进制数543210809306810000001000091000310001061810010910310010610.2101234562.4083510610210410010810310.特点:十进制数由十个数字0123456789，，，，，，，，，组成.二进制数43210110111212021212.321012341110.11011212120212120212,特点:二进制数由两个数字0和1组成.三进制数4321012312101.2211323130313232313.特点:三进制数由两个数字0,1和2组成.前面讲过,利用四个砝码:1g,2g,4g,8g,可以称出1g——15g的整数克重量.把重量用二进制表示,可以得到相应的砝码组合方式.用四个砝码1g,2g,4g,8g可以称出1g——15g的整数克重量重量(克)12345678重量的二进制表示11011100101110111100014砝码组合1221441424218重量(克)9101112131415重量的二进制表示1001101010111100110111101111砝码组合8182821848418428421前面还讲过,利用三个砝码:1g,3g,9g,可以称出1g——13g的整数克重量(允许砝码放在天平的两个托盘中).把重量用三进制表示,可以得到相应的砝码组合方式.下表中加下标3的数(如3101)表示三进制数,不加下标3的数为十进制数.用三个砝码1g,3g,9g可以称出1g——13g的整数克重量重量(克)31132231033114312532063217凑数3003113003003113131033103前两数之和31131033103311313100931009310191砝码组合13133193193913重量(克)322831009310110310211311012311113凑数311300300311300300前两数之和31009310093101913110933110933111931砝码组合9199193193931151.1数学符号人总想给客观事物赋予某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、技术、文化、艺术、…….符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的.文字是表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”.这些符号的组合便是语言.人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号.符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力.没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想