卡方分布

1、χ2分布概述从一个服从正态分布的总体中，每次随机抽取随机变量X1,X2,…,分别将其平方，即可得到X12,X22,…,将这数值加和得∑Xn12；这样可抽取无限多个数量为n的随机变量X及X2,可求得无限多个∑Xni2(n个随机变量的平方和).概述也可计算每个原始分数对应的标准分数的平方，并将之加和得∑Zn12、∑Zn22、…、∑Zni2、..那么,这无限多个n个随机变量平方和或标准分数的平方和的分布，即为χ2分布.可写作χ2=∑(Xi-μ)2/σ2或χ2=∑Z2；χ2分布的自由度为n.如果正态总体的平均数未知,若用样本平均数作为μ的估计值:χ2=∑(Xi-)2/σ2或χ2=ns2/σ2此时自由度为df=n-1.XXχ2分布的特点χ2分布是一个正偏态分布。随每次所抽取的随机变量X的个数(n的大小)不同,其分布曲线的形状不同,n或n-1越小,分布越偏斜.df很大时,接近正态分布，当df→∞时,分布即为正态分布.χ2分布是一族分布,正态分布是其中一特例.2χ2分布的特点χ2值都是正值.χ2分布的和也是χ2分布,即χ2分布具有可加性。Σχ2是一个遵从df=df1+df2+…+dfk的χ2分布.如果df＞2,χ2分布的平均数:μχ2=df,方差σχ2=2df.χ2分布是连续型分布,有些离散型的分布也近似χ2分布.2χ2分布密度曲线n=1n=4n=10n=20χ2分布表-1χ2分布表是根据χ2分布函数计算出来的，χ2分布曲线下的面积都是1.随自由度不同，同一χ2值以下或以上所含面积与总面积之比率不同。χ2表要列出自由度及某一χ2值以上χ2分布曲线下的概率.χ2分布表-2附表12:表的左列为自由度,最上一行是概率值，即不同自由度时,某χ2值以上的概率，表中间所列数值为不同自由度及概率下的χ2值.χ2分布表-3分布在统计分析中应用于计数数据的假设检验以及样本方差与总体方差差异是否显著的检验等.2、F分布概述-1设有两个正态分布的总体,其平均数与方差分别为:μ1、σ1及μ2、σ2,从这两个总体中分别随机抽取容量为n1及n2的样本,每个样本都可计算出χ2值；这样可得到无限多个χ21与χ22,每个χ2随机变量各除以对应的自由度df之比，称为F比率；这无限多个F的分布称做F分布.22概述-1222121dfdfF概述-2221222)1()(nisnXX概述-2222121212222121212112221212121)1()1()1()1(nnnnssnsnnsndfdfF代入概述-2据以上可理解F比率为样本方差各除以其总体方差的比率.如果令σ21=σ22.即从一个总体中抽样,其F比率可写作:F=s2n1-1/s2n2-1概述-3自一个正态总体中随机抽取容量为n1及n2两样本,其方差的比率分布为F分布,分子的自由度为n1-1,分母的自由度为n2-1.概述-3知道了同一总体不同样本的方差比率分布,即可分析任意两样本方差是否取自同一总体了.F分布密度曲线m=10，n=∞m=10，n=50m=10，n=10m=10，n=4F分布的特点-11.F分布形态是一个正偏态分布，它的分布曲线随分子、分母的自由度不同而不同，随df1与df2的增加而渐趋正态分布。2.F总为正值,因为F为两个方差之比率.F分布的特点-23.当分子的自由度为1,分母的自由度为任意值时,F值与分母自由度相同概率的t值(双侧概率)的平方相等。F分布的特点-2例如分子自由度为1时,分母自由度位为20,F0.05(1,20)=4.35,F0.01(1,20)=8.10,查t值表df=20时,t0.05=2.086,(t0.05)2=4.35,t0.01=2.845,(t0.01)2=8.10.这一点可以说明当组间自由度为1时(即分子的自由度为1)F检验与t检验的结果相同.F分布表-1本书附表3和附表4均为F分布表.F分布表列出最常用的0.95、0.99(指某F值左侧,F分布曲线下的概率)或α为0.05、0.01(即某F值右侧F分布曲线的概率,分别为1-0.95,1-0.99)F分布表-2：附表4该表左一列为分母的自由度。表的左二列为α概率:0.05与0.01即F曲线下某F值之右侧的概率,表的最上行为分子的自由度,其值与分母自由度的值相似。表中其他各行各列的数值为0.05与0.01概率时,不同分子、分母自由度F分布的值.例,df1=2、df2=9查F表第二栏第九行得到两个数字4.26和8.02.4.26对应的α=0.05,8.02对应的α=0.01。即在分子自由度为2,分母自由度为9的F分布曲线下,F为4.26时,该F值右侧的概率为0.05,F为8.02时其右侧的概率为0.01,还可进一步理解:取自同一个正态总体的两个样本n1、n2之方差的比值F,只有5﹪的样本可能比4.26大,只有1﹪的样本可能比8.02大.F分布表-3：附表4上述4.23常写作F0.05(2,9)=4.26.同理,上述8.02可写作F0.01(2,9)=8.02.例如F0.05(10,10)=2.97.F0.01(10,10)=4.85,即分子的自由度为10,分母的自由度也为10,α=0.05时F=2.97;α=0.01时F=4.85.查F表,分子自由度为10这一列与分母自由度为10这一行相交处,查得两个数值.再查2.97这一行所对应的α为0.05,4.85所对应的α为0.01.在表的左一列是分母自由度;左二列为α概率,F曲线下某F值右侧的概率;最上行为分子自由度.其他各行各列为不同分子、分母自由度时F分布的值