圆锥曲线方程-椭圆(知识点、典型例题、考点、练习)

1椭圆典例剖析知识点一椭圆定义的应用如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)内一点A，F1为左焦点，在椭圆上求一点P，使|PF1|＋|PA|取得最值．解设F2为椭圆的右焦点，且直线AF2与椭圆相交于P1、P2两点，点M是不同于点P1、P2的椭圆上的任意一点．根据椭圆的定义知：|P1F1|+|P1F2|=2a，所以|P1F1|+|P1A|=|P1F1|+|P1F2|+|F2A|=2a+|F2A|.①在△AMF2中，|MA||MF2|＋|F2A|.所以|MF1|＋|MA||MF1|＋|MF2|＋|F2A|.因为M是椭圆上任意一点，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MF1|＋|MA|2a＋|F2A|.②由式①、②知|MF1|＋|MA||P1F1|＋|P1A|.|P2F1|＋|P2A|＝|P2F1|＋|P2F2|－|AF2|＝2a－|F2A|.而在△AMF2中，|MA||MF2|－|F2A|，所以|MF1|＋|MA||MF1|＋|MF2|－|F2A|＝2a－|F2A|，所以|MF1|＋|MA||P2F1|＋|P2A|.由以上可知，点P1是使|PF1|＋|PA|取得最大值的点，而点P2是使|PF1|＋|PA|取得最小值的点．知识点二求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点A(13，13)，B(0，－12)．(1)解方法一椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由椭圆定义知：2a＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x225＋y29＝1.2方法二设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，因为c＝4，所以a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以25a2＋0b2＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)方法一①当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，依题意有(13)2a2＋(13)2b2＝1，0a2＋(－12)2b2＝1.解得a2＝15，b2＝14.又因为ab，所以该方程组无解．②当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．依题意有(13)2a2＋(13)2b2＝1，(－12)2a2＋0b2＝1.解得a2＝14，b2＝15.所以方程为y214＋x215＝1.综上知，所求椭圆的标准方程为：y214＋x215＝1.方法二设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依题意有19m＋19n＝1，14n＝1，解得m＝5，n＝4，所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，即其标准方程为y214＋x215＝1.知识点三根据方程研究几何性质求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．解将方程变形为y225＋x216＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别3为2a＝10,2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知识点四根据几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是23.(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝3.e＝ca＝23，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.(2)设椭圆方程为22221xyab(ab0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求椭圆的方程为221189xy,知识点五求椭圆的离心率如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解方法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，32b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+94b2=|MF1|2.4而|MF1|+|MF2|=224242,93cbba整理得3c2=3a22ab.又c2=a2b2，所以3b=2a.所以2249ba，所以2222222251,9cabbeaaa所以e=35知识点六直线与椭圆的位置关系问题当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离．解由题意，得y＝x＋m，①9x2＋16y2＝144.②①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化简，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆相切．Δ0时，得－5m5，直线l与椭圆相交．当Δ0时，得m－5，或m5，直线l与椭圆相离．知识点七中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，求l的方程．解设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1.两式相减，得kAB＝y1－y2x1－x2＝－9(x1＋x2)36(y1＋y2)＝－2×44×2×2＝－12.∴l的方程为：y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.考题赏析1．(江西高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能5解析∵x1＋x2＝－ba，x1x2＝－ca.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝b2a2＋2ca＝b2＋2aca2.∵e＝ca＝12，∴c＝12a，∴b2＝a2－c2＝a2－12a2＝34a2.∴x21＋x22＝34a2＋2a×12aa2＝742.∴P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．答案A2．(浙江高考)如图所示，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线解析由题意可知P点在空间中的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又P点在平面α内，所以P点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆．答案B1．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16B．18C．20D．不确定答案B解析△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因2a＝10，c＝25－9＝4，周长为10＋8＝18.2．a＝6，c＝1的椭圆的标准方程是()A.x236＋y235＝1B.y236＋x235＝1C.x236＋y25＝1D．以上都不对答案D解析因焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故标准方程有两种可能．故选D.3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1D.x281＋y236＝1答案A解析由题意2a＝18,2c＝13×2a＝6∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.4．已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交6椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为()A.33B.23C.22D.32答案A解析|AF1|＝b2a，故有tan60°＝|F1F2||AF1|∴2c＝3×b2a∴(2ac)2＝3(a2－c2)2解得e＝ca＝33.5．设椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，则m的值是()A．3B.163C.163或3D．2或163答案C解析当m4时，此时有m－4m＝12，所以m＝163；当0m4时，4－m2＝12，所以m＝3.6．直线y＝22x与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为________．答案22解析当x＝c时，y＝±b2a，∴b2a＝22c即a2－c2a＝22c∴e2＋22e－1＝0，解得e＝22.7．倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是________．答案x＋4y＝0(－455x455)解析设中点坐标为(x，y)，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，整理，得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，则x＝x1＋x22＝－45b，y＝b5，所以x＋4y＝0.由Δ＝64b2－4×5×4(b2－1)0，得－5b5，故－455x455.8．求过点A(2,0)，且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．解将圆的方程化为标准形式(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图所示．7设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离．∴即|BC||MC|=|BM|.而|BC|=6，∴|BM|+|CM|=6.又|CM|=|AM|，∴|BM|+|AM|=6.根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆．∴a=3，c=2，b=225ac∴所求圆心的轨迹方程为2222+=13(5)xy,x29＋y25＝19．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；(3)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(4)与椭圆x24＋y23＝1有相同离心率，焦点在x轴上，且经过点(2，－3)．解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，a＝3，∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3,2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)由已知a＝2ca－c＝3∴a＝23c＝3从而b2＝98∴所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，点P(－23，1)，Q(3，－2)在椭圆上，代入上述方程得12m＋n＝13m＋4n＝1，解得m＝115n＝15，∴椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.(4)由题意，设所求椭圆的方程为x24＋y23＝t(t0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t＝224＋(－3)23＝2，故所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1.10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题