数学应用教学的若干问题

第六章数学应用教学的若干问题若干选题•一．居家事物中的数学•1.洗衣节水中的数学•2.作物种植中的数学•3.买房贷款中的数学•4.飞行活动中的数学•二．经济活动中的数学•1.风险投资中的数学•2.货物运输中的数学•3.下料配方中的数学•三．自然万象中的数学•1.用数学注释的花园•2.蜂房构造中的数学•3.波峰活动中的数学•4.分形数学与自然界•四．竞技体育中的数学•1.体育训练问题中的数学•2.竞赛规则制定中的数学•3.竞技策略选择中的数学•五．游戏中的数学•1.数学魔术•2.棋局静思•3.火柴棒的游戏•4.概率游戏•5.幻方游戏中的数学•所谓数学游戏法教学，在于创造一种环境，按数学原理制定出游戏的方法或规则，寓数学问题与游戏之中，让学生在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想。数学游戏必须具备以下两个特点：第一，它必须是游戏，能够玩，具备趣味性、娱乐性；第二，它必须蕴含数学原理，在游戏过程中需要自觉不自觉地解决一些数学问题，具有知识性、能启迪思维。•事实上，著名的数学游戏很多，像幻方、九连环、称球问题等，甚至还有促使某一数学分支发展的七桥问题、赌徒输赢问题等。指导教师可根据参加课外舌动同学的具体情况，选择利于学生数学思维发展的游戏。如可让初三学生两人一组，每人准备6枚硬币，一个骰子，规定每局点数大为赢，谁先赢得3局就得到全部硬币。并告诉他们比过三次后暂停，记录结果。•教师检查3局后的游戏结果，可分为两种情况：情形1，一些组中有一名同学连赢三局，该赢得全部硬币；情形2，另一些组中一名同学赢2次，另一名同学赢1次。至此教师可提问：对情形2不继续进行比赛该怎样合理分配硬币？并进一步根据同学们的回答，讲述编制此游戏的原型故事“概率论：赌徒输赢的学问”，巧妙地引入概率的基本知识，定会使参与活动的同学具有强烈的学习动机，学习情趣盎然。这里我们给出了若干适于初中学生竞技的游戏，感兴趣的学员可在课堂间隙中一试。•生活中的数学•数学教材是按逻辑演绎体系编写的，这使多数同学都不同程度上感到数学的抽象难懂和枯燥乏味。虽然，随着他们学习的深入，许多人能体会到数学美的韵味，但是一般要经历较长的时间。如能结合学习的内容，让他们参与解决活动中的数学问题，则会立刻引起学生的直接兴趣。•比如随着人们生活水平的不断提高，几乎家家都有一定数量的余款。怎样使其保值和增值是人们普遍关心的问题，该如何选择适宜的储蓄方案呢？大多数人认为存期越长利息越高，果真如此吗？通过计算不同存期获利情况分析和最优名次排列，可以看出各期利率及其间差额大小影响着获利的高低。•还有诸如抽签中奖机会和顺序的关系、蚊香形状里的数学、起跑位侍怎样错开、居民身份证的编号规律等问题，都适于介绍给不同年级的学生，其中蕴涵了深刻的数学思想和方法。在此我们给出若干问题，学员可从中选择一些应用与数学课程实践中。秦王暗点兵•秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。•物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：•“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”•这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？1名数学家=10个师的由来赵鹏陈海龙•第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。你可知这句话的由来吗？1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它有一定的规律。•一定数量的船（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%。美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。商人与随从问题•题目：3名商人各带一个随从乘船渡河。一只小船只能容纳2人并由他们自己划行。随从们密谋在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多就劫财杀人，但是如何乘船渡河的权利掌握在商人手中。问：商人们怎样才能安全渡河？数学家谈数学与游戏•①作为数学教学和数学大众化的工具的数学游戏•数学是一种多边的人类活动。当然它是一门科学；甚至是所有科学活动的模型和范例。它是探索宇宙和合理利用我们所控制的自然资源的有力手段。它是一种思维模式，几个世纪来一直是一个享有特权的研究人类智力的领域。但数学也是一种真正的艺术和游戏，这种艺术和游戏的成分和数学的发展是如此地同一，以至于数学工作的每个领域都因没有达到满意的美学水平而保持着不稳定性；要以更加优美的表达方式来传播一种整体的、和谐的、令人愉快的、有趣的想象，就像未完成的交响乐或诗以最美的形式展现在观众面前。•1)游戏是一种“自由活动”。“自由”在希腊语中意思是“无报酬的”，也就是说活动本身的目的是为了锻炼，而不是从中获取利益；(2)它在人类的发展中起着“一定的作用”。幼儿就像小动物一样玩耍，并为将来的竞争和生活做准备。成年人也玩游戏，且通过游戏体验到解放、回避和放松等感觉；(3)游戏“不是玩笑”。做游戏必须相当认真，不认真对待的人是在糟蹋游戏；•(4)游戏就像艺术工作一样，“通过深思熟虑和实施而产生乐趣”；(5)游戏在时间与空间上“和日常生活分开”；(6)游戏中包括“一定的紧张因素”，通过渲泄与解放而产生巨大的乐趣；(7)游戏可使参加者之间产生兄弟般的“特殊默契”；(8)通过游戏规则可创造一种“新秩序”和充满和谐韵律的新生活。•粗略地分析一下数学活动，我们可以在许多形式中都发现所有这些特点。所以，就其深层的性质来说，数学也是一种游戏，然而，这种游戏要涉及到科学、设备、哲学等其他方面，从而，使数学成为人类文化的基本支柱之一。•任何游戏一开始都是介绍一系列的规则、一些对象或部件，它们在游戏中的作用就由那些规则所定。确切地说，数学理论的对象也同样通过隐含的定义来确定：“我们给定三类对象，第一类对象我们称之点，……”无论谁在开始做游戏时，都必须对它的规则有一定的了解，将各部件相互联系，就像数学的初学者那样，用同样的方法比较并建立该理论中的基本元素之间的相互作用。这些就是游戏或数学理论的基本练习。•初步掌握了某种游戏的人，就能在游戏中获得一些简单实用的技巧，并导致最终的胜利，这种情况是颇为常见的。这相当于某种理论的基本引理和事实，通常在初次接触该领域的简单问题时就容易得到。在更复杂的游戏中，问题永不会枯竭，高级的玩游戏的人想要在从未探索过的游戏情境中用首创方法来解决，这就对应于研究数学理论中未解决的问题。•最后，有些人有能力创造新的游戏，善于出新鲜点子，设计情景，能给出新颖的策略和创造性的游戏方式。将其与创立新的数学理论类比的话，这就相当于具有丰富的思想，善于提出问题，并应用于其他末解决的问题，从而，更深刻地揭示现实生活中某些至今尚不明了的真理。•②数学史上经常出现这种情况，一个像游戏似的有趣问题，或是对一个表面看来无关紧要的情境作巧妙观察，会产生新的思维模式。当人们能以自愿而嬉笑的心境，而不是以正式的科学常有的严肃认真的背景来看待一门学科时，这种精神就能使科学有效地取得进展。《易经》中以不同占卦符号的分布以及具有神秘内涵的中国魔方的构造这些事实来讲组合分析的起源。•Pythagoras用石块的游戏(Psefoi)列出了数论中有趣的定理，Zeno悖论也许应理解为对当代数学家中流行的思维方式的嘲笑。Euclid本人也在他失落的一本书(Pseudaria)中使用了一组谬论,作为激励他的学生纠正思维过程的手段。Archimedes在他的《Problembovinum》和《Sand-reckoner》中，以游戏的方式面对奇特的情境，目的是使他的数学工具更为锋利。•由游戏的精神激发出来的数学对象是没有止境的。只要引用一些在这种背景下思考问题的重要数学家的名字就足以说明了Pascal、Euler、Daniel、Gauss,……关于数学游戏演变的简短而丰富的梗概，可见大不列颠百科全书中W．L．Schaaf关于《数字游戏和其他的数学游戏》的文章。•③在古典的和现代的游戏中，数学主题之丰富给入留下了深刻的印象。理解这一点的最好办法是通读Lucas或者Ball(Ball＆Coxeter)的经典著作和由W.L.Schaaf编制，美国数学教师理事会出版的《游戏目录汇编》。除了算术、几何和数论是数学游戏的传统源泉之外，还有拓扑学、组合几何、图论、逻辑学、概率论……。•在所有这些古老的和年轻的领域中，都有数不清的给人以乐趣的、有吸引力的、尚未解决的问题，它们可能容易陈述却难以解决，如Fermat的最后一个定理。这些都等待着能给问题的解决带来曙光的新思维过程的产生。对于其中的许多问题，很难说是否应归入严肃数学，或归入无意义的怪事或是智力题。•任何有足够深度的游戏或智力题都对数学的有趣侧面有着强烈的影响。在创造智力题或游戏的过程中，人们可以不受传统理论概念或方法论的束缚，完全自由地显示他的想象力。•有许多游戏的例子能够说明探索数学、游戏或智力题所需要的思维过程的相似性；我将描述对我触动特别深的一个，它允许从单纯的操作到深刻的数学采取不同水平的处理方法，而且有丰富的启发式方法可以进一步探索。有很多深奥的数学带有游戏的情趣。可以选择一些非常明显的现代例子。•1)四色定理。四种颜色足以为任何平面地图着色。•(2)Ramsey(简单型)。在圆周上给定六个点，用线段两两相连，然后，用红色或蓝色给所得的线段染色，那么，由这些线段所组成的三角形中至少有一个三角形三边颜色相同。•3)Sperner引理。把△ABC进行三角形分割，即将大△ABC分为小三角形，使得它们两两不相交或只有一条公共边或只有一个公共顶点。所得小三角形的顶点也命名为A、B、C，只是限定顶点C不应在大三角形的边AB上，顶点B不在边AC上，顶点A不在边BC上；则最终至少总有一个三角形，其顶点是A、B、C。•(4)Kakeya问题。在平面图形中连续转动一根单位长度的针，使得最后回到其原来位置但方向相反，求所有这类平面图形的面积的下确界。•(5)(三角形台球桌。台球在矩形球桌上的理想轨迹是周期性的，不然就是稠密地布满整个桌面，也就是说它可任意接近任一给定点。那么,在一个任意三角形台球桌上，球的轨迹是怎样的呢?•MartinGardner对情况作了相当正确的评价：“唤醒学生的最好办法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”(《数学游艺场》，前言)有经验的数学家开始对任何问题作研究时，总带着与小孩子玩新玩具一样的兴致，先是带有好奇的惊讶，在神秘被揭开后又有发现的喜悦。为什么在我们的数学教学方法中不应使用同样的游戏似的精神呢?一本很好的数学游戏选集能使任何水平的学生都从最佳的观察点面对每一个题材。•这样做的好处很多：有力、坦率、动力、兴趣、热情、乐趣……;另一方面，数学与游戏的结构相似性允许我们在开始进行游戏时，可以使用在数学情境中十分有用的同样的工具和同样的思想策略。特别是数学中的启发能力,可以成功地起动许多不同游戏的实践，就像Averbach和Chein的著作——《由数学游戏进行问题解决》所出色地证明的那样，其中还附有非常丰富的游戏集。•从数学大众化的观点看，数学游戏的有效性是显而易见的，无需再强调。最近在Berlekamp、Conway和Guy的杰作《数学游戏获胜的方法》的献词中，作者完全正确地写道，“Mart