直线的参数方程

直线的参数方程直线的参数方程sincos0000MMyyMMxxOXYL),(00yxMθ过xoy平面上定点M(x0,y0)，与x正向夹角为θ的直线l如何用参数方程来表示？M(x,y)x0y0xyθt000,yyxxMMsincos0000MMyyMMxx当xx0时，当xx0时，sincos00tyytxxtt),,(),,0[其中是参数在上述的直线的“标准参数方程”中：参数t的几何意义是：表示从点M0到点M的有向线段M0M的数量，习惯上向上方向为正（平行X轴时，向右方向为正），反之则为负。1．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)(2)由α为直线的倾斜角知时，sinα≥0.x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinαα∈[0，π)2．参数t的几何意义．(1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取．(2)当M0M―→与e反向时，t取，当M与M0重合时，t＝.参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离正数负数0例1、写出下列直线的参数方程：①过点A（2，0），倾斜角为30°；②过点A（2，1），倾斜角为60°；③过点A（-2，-1），倾斜角为120°；④过点A（0，-3），倾斜角为135°；tytx21232（t为参数）122312xtyt（t为参数）122312xtyt（t为参数）22232xtyt（t为参数）2．已知直线l的参数方程为x＝－1＋3t，y＝2－t，求直线l的倾斜角．解：设倾斜角α，则213tan133yx得α＝5π6.故直线l的倾斜角为5π6.例2、写出下列直线参数方程的倾斜角，及经过的点。ootytx105sin2105cos21ootytx15sin215cos22ootytx15cos215cos23经过点（-2，2），倾斜角为105°)15180sin(2)15180cos(22ooootytx经过点（2，2），倾斜角为165°22122xyxy经过点（-2，2），倾斜角为45°[例3]已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．[解]由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tanα＝34，sinα＝35，cosα＝45.又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为x＝1＋45t，y＝1＋35t(t为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋45t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.4.一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为x＝3＋22t，y＝4＋22t，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3(3＋22t)＋2(4＋22t)＝6.解得t＝－1125，∴|MP0|＝|t|＝1125.例4、写出经过点M0(-2,3)，倾斜角为135°的直线L的标准参数方程，并求出直线L上与M0相距为2的点的坐标。解：直线L的参数方程是：00135sin3135cos2tytx即：tytx223222把t=±2代入上述参数方程则得所要求的点的坐标为：)23,22(M和)23,22(M例5.参数方程（参数t∈（-∞，+∞）表示图形是什么？btyyatxx00①②解：由b×①—a×②得：b(x–x0)–a(y–y0)=0这是过点（x0,y0),且倾斜角θ满足：的直线。2222sincosbabbaa参数方程（参数t∈（-∞，+∞）btyyatxx00是直线的非标准参数方程如何化成标准参数方程？随堂训练1、设直线的参数方程为tytx23322（t为参数），那么它斜截式方程为：2、已知直线L：tytx32（t为参数），且直线L与直线M：0342yx交于点P，求点Q(2,3)与点P的距离。点斜式为：)2(60tan3xyo3233xyL的标准参数方程为：tytx223222代入直线M的方程得：6213t6213PQ《名师同步导学》P36重难点突破例6.过抛物线的焦点，作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A、B两点，求弦AB的长。xy22解：抛物线的焦点坐标为（1/2，0），弦AB所在的直线方程为：tytx222221（t为参数）将上述直线的标准参数方程代入抛物线，并整理得：02222ttOXYFABt1t2如图，由直线标准参数方程参数的几何意义，我们有：21221214||ttttttAB①由①及韦达定理得：2,222121tttt所以，|AB|=4。即所求的弦长为4。[例7]已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l的参数方程．(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．(1)直线的参数方程为x＝1＋32t，y＝1＋12t(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A(1＋32t1,1＋12t1)，B(1＋32t2,1＋12t2)，以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0，①因为t1和t2是方程①的解，t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．8.直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．(1)求弦长|AB|；(2)求A、B两点坐标．解：（１）依题意设l方程为x＝－4＋32t，y＝t2.代入圆方程，整理得t2－43t＋9＝0.设A、B对应参数分别t1和t2，由韦达定理得t1＋t2＝43，t1t2＝9∴|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23.（２）由（１）解得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程得A点坐标(12，332)，B点坐标(－52，32)．9.求经过点(1,1)，倾斜角为120°的直线截椭圆x24＋y2＝1所得的弦长．解：依题意可得直线的参数方程为x＝1－12t，y＝1＋32t代入椭圆的方程，整理得13t2＋4(43－1)t＋4＝0.设方程的两实根分别为t1，t2，则t1＋t2＝41－4313，t1t2＝413.|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝421321－432－4213＝4131－432－13＝41349－23＝89－2313.所以直线被椭圆所截得的弦长为89－2313.课堂小结1、直线参数方程的标准方程及参数的几何意义。2、如何把直线非标准参数方程化为标准参数方程？9.直线为参数）与圆交于A、B两点，求|AB|的长度。ttytxl(2122:122yx解法1：由于本例是直线与圆的问题，可把直线化成一般方程求解OXY11-1-1消去参数t得l:x+y-1=0,设d为圆心O到直线的距离，则212100d2441222ddAB解法2：把直线的参数方程代入圆的方程得：0862tt8,62121tttt242122121ttttttAB解法2错在哪儿？10.已知双曲线方程为，点M（6，1），求以点M为中点的弦所在的直线方程。12322yx解：设所求的直线的参数方程为：ttytx(sin1cos6为参数）把直线的参数方程代入双曲线方程整理得：063sincos46sin3cos2222tt因为M是中点，于是4cosα–sinα=t1+t2=04tank所以，所求的直线方程为y–1=4(x–6),即4x–y–23=0随堂训练1、已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为30°，（1）写出直线L的参数方程；（2）设L与圆相交于A、B两点求点P到A、B的距离之积。422yx2、求直线为参数）被圆截得的弦长。ttytx(221922yx解：（1）L的参数方程是：0030sin130cos1tytx（2）把L的参数方程代入圆的方程整理得：02)31(2tt2||21ttPBPA5512922dAB解：把直线的参数方程化成普通方程得：x–2y+3=0圆心O到直线的距离d=53所以，已知直线被圆截得的弦长为312112xtyt3、已知抛物线的准线与对称轴相交于点M，过M做直线L1与抛物线交于A、B，又过焦点F做L2//L1切L2交抛物线于C、D两点，求证：|MA||MB|=|FC||FD|。)0(42mmxy证明：设直线L1的参数方程为：ttytmx(sincos为参数）直线L2的参数方程为：ttytmx(sincos为参数）把直线L1的参数方程代入抛物线方程整理得：04cos4sin222mmtt由参数的几何意义得：2221sin4mttMBMA把直线L2的参数方程代入抛物线方程整理得：04cos4sin222mmtt由参数的几何意义得：2243sin4mttFDFC①②由①②知，命题得证