直线的对称问题

2020/2/201边城高级中学张秀洲1、点关于点对称2、直线关于点对称3、点关于直线对称4、直线关于直线对称对称问题中心对称问题点关于点的对称线关于点的对称轴对称问题点关于线的对称线关于线的对称轴对称中心对称有一条对称轴:直线有一个对称中心:点定义沿轴翻转180°绕中心旋转180°翻转后重合旋转后重合性质1、两个图形是全等形2、对称轴是对应点连线的垂直平分线3、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上1、两个图形是全等形2、对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。一、点关于点对称例1.已知点A(5,8)，B(-4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。解题要点：中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x21=8+y2解:设C(x,y)则得x=-13y=-6∴···二、点关于直线对称例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3x+y-2=0,求点A关于直线l的对称点A’的坐标。解题要点：k•kAA’=-1AA’中点在l上A··A′yxO(x，y)(2，6)-3·y-4x-(-4)=-13·-4+x2+4+y2-2=0解：设A′（x,y)·（l为对称轴）例3.求直线l1:3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。三、直线关于点对称解题要点：法一：l2上的任意一点的对称点在l1上;法二：L1∥L2点斜式或对称两点式法三：l1//l2且P到两直线等距。解：设A(x，y)为l2上任意一点则A关于P的对称点A′在l1上∴3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线l2的方程为3x-y-10=0·Al2l1yxOPA′··四、直线关于直线对称例4.试求直线l1:x-y+2=0关于直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程。l2l1l解：设l方程为x-y+m=0则与距离等于与距离l1l2l2l建立等量关系，解方程求mxoy，，上取一点：在直线)02(0421Ayxlxyo1ll2lE解法一：.A)(00yxBlA，的对称点关于设0143042yxyx由)23(1，交点与得Ell23yx上也在直线，则2)23(lE0120422334200000yxxy则)5854(，B.B5433)58(2)2(2xyl的方程为：故直线.016112yx即.014304221的方程对称的直线：关于直线：求直线lyxlyxl5例：2020/2/2010.014304221的方程对称的直线：关于直线：求直线lyxlyxl5例：解法二：xyo1ll2lE)()(2yxPlPlyxP，的对称点关于上任一点，为直线，设.P.P’01242354yyxxxxyy则258724256247yxyyxx上：在直线，042)(1yxlyxP04287242562472yxyx.0161122的方程为所求直线即lyx解题要点：(先判断两直线位置关系)（1）若两直线相交，先求交点P,再在上取一点Q求其对称点得另一点Q’两点式求L方程L1求关于的对称直线L的方程的方法L1L2则与距离等于与距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求m(2)若‖，设L方程为x-y+m=0L1L2（一）常见的对称点结论•1.点关于原点的对称点为;•2.点关于点的对称点为;•3.点关于x轴的对称点为;•4.点关于y轴的对称点为;•5.点关于y=x的对称点为;•6.点关于y=-x的对称点为;),(ba(-a,-b)),(ba),(nm(2m-a,2n-b)),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(-a,b)三、规律方法：()0AxByC()0AxByC0BxAyC1.直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于x轴的对称直线的方程为:3.直线关于y轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:5.直线关于直线y=-x的对称直线的方程为()()0AyBxC()()0AxByC（二）常用的对称直线结论:0CByAxl的方程为设直线.02:)2()3,5()1(,33:121llyxllAxyl对称的直线方程关于直线求直线的对称点的坐标；关于直线点求、已知直线练习xyoP/P),(1/yxA）设解（lAA/3135xy距离相等到直线与又lAA/上中点在直线即lAA/325323xy6,4yx解得)6,4(/AxyoP/P一点任意上是直线设),()2(2lyxP点的对称关于直线是点33),(///xyPyxPlPP/31/PPk所以31//xxyy即上的中点在直线又33/xyPP3232//xxyy.02:)2()3,5()1(,33:121llyxllAxyl对称的直线方程关于直线求直线的对称点的坐标；关于直线点求、已知直线练习xyoP/P31//xxyy即3232//xxyy53435934//yxyyxx上在直线02),(///yxyxP0253435934yxyx0227yx整理得：.02:)2()3,5()1(,33:121llyxllAxyl对称的直线方程关于直线求直线的对称点的坐标；关于直线点求、已知直线练习xyoP/P）方法二：解（2的角相等到的角与直线到直线直线21llll2231313113kk72k)29,25(1的交点坐标为与又直线ll02272yxl方程为.02:)2()3,5()1(,33:121llyxllAxyl对称的直线方程关于直线求直线的对称点的坐标；关于直线点求、已知直线练习线所在直线方程。，求入射光线和反射光光线通过点反射，若反射经直线光线通过练习)8,5(072:)4,2(:2ByxlAx0yBA/B),(/yxBlB的对称点为关于直线解：如图，设07282522158yxxy69yx)6,9(/B在入射光线上/B048112yx入射光线所在方程为0182－＋程为同理地反射光线所在方yx※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？