直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定

平面向量空间向量推广到立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.前面,我们把为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？一、直线的方向向量空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.eABle直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。ee由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnnAnl给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnm例1:在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD，则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1)1(1,1,1)DB，(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD10DBAC，所以1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA所以1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC例2：已知求平面的单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz则，（，，），（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n3||2n122(-333ABC求平面的单位法向量为，，）问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3),,0000xyzaxbycznanbaxbycz根据法向量的定义建立关于的方程组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向量不惟一，合理取值即可。例3.在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。),,(000zyxP),,(CBAe),,(zyxMzyx,,000(,,)PMxxyyzz，解：由题意可得0PMe000(,,)(,,)0ABCxxyyzz即000()()()0AxxByyCzz化简得：因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？设直线12,ll的方向向量分别为12,ee，平面12,的法向量分别为12,nn，则12//ll12//ee12ee；线面平行12//12//nn12.nn注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行面面平行三、平行关系：111222(,,),(,,),leabcnabc设直线的方向向量为平面的法向量为则121212//00;lenaabbcc11//l11en110en；ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBDANAE，//MNCDE平面例4如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMN),0,2(caBMABNANM)0,3,0(bAD0NMAD由NMAD得到简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，ABADAF，，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE线线垂直线面垂直1212nn120.nn12ll12ee120ee；11l11//en11en；面面垂直四、垂直关系：111222222,,0,//abcabcenabc当时111222(,,),(,,),eabcnabc若则121212//,,.lenenaabbcc设直线12,ll的方向向量分别为12,ee，平面12,的法向量分别为12,nn，则A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F1111DCBAABCD例5.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,,)2DADE，11(0,,1)2DF又因为00nDAnDE则由，得所以1DFADE平面ADEnxyz设平面的一个法向量为=(，，)000102xxyz12xyz则=0，不妨取，得01-2n所以=(，，)//1DFn所以巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.巩固性训练3////llll1．如图，正方体中，E为的中点，证明：//平面AECDCBAABCDDDDBDABABCCDE练习:用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BBAD、DC、DD的中点，求证：⑴平面PQR∥平面EFG。⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRPl1l21e2e12//ll1212//eeeel11n1e11//l11110enen11n22n12//1212//nnnnl11el22e12ll12120eeee11l1n1111//enenl1e11n22n1212110nnnn