直线的方向向量与平面的法向量及应用

空间直线的方向向量和平面的法向量为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？1、直线的方向向量ale直线上的非零向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量leel给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnnnnn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnml2问题探讨1、已知Ａ（1，1，-1），Ｂ（2，3，1），则直线ＡＢ的一个方向向量是；变形：直线ＡＢ的模为1的方向向量是。2、已知非零向量、及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于或在内的（）aba0babＡ．充分必要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件)2,2,1(AB)32,32,31()32,32,31(nn或A3、在正方体中，求证：是平面的法向量．1111DCBAABCD1DB1ACDB1C1CABED1DA1Ｚxy证明：建立如图所示的空间直角坐标系，），，（），，，（1110001BD），，（1111DB)0,1,0(),1,0,0(,0011CDA），，（），，（），，，（11010111CDAD010111111），，（），，（ADDB011011111），，（），，（CDDBAACAD1又1111CDDB，ADDB11ACDDB平面法向量为故11ACDDB变形：已知四棱锥的底面是直角梯形，ABCDS090//ABCADBCSAABCD，，平面，，211ADBCABSA求平面的一个法向量。SDCn解：如图，建立空间直角坐标系，点A作坐标原点，分别沿向量的方向为轴轴轴ADABAS，，xyz则)1,0,0(),0,0,21(),0,1,1(),0,1,0(SDCB设平面的法向量为SDC(,,)nxyz则11(,,)(,0,1)022nSDxyzxz同理11(,,)(,1,0)022nCDxyzxy取x=1得：11(1,,)22nSADCBzyx问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.4、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式。(,,)nABC),,(zyxM),,(000zyxPzyx,,解：由题意得）（000,,zzyyxxPM因为是平面的法向量，所以nnPM从而即0nPM0,,000）（），，（zzyyxxCBA0000）（）（）（zzCyyBxxA所以满足条件的关系式为：得到0000）（）（）（zzCyyBxxA平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示三个基础命题基础命题1:两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行.基础命题2:一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量.基础命题3:两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行.空间向量的应用----求点到平面的距离回顾定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。一般方法：利用定义先做出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。PBA向量法：PAn如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面一个法向量。nnAP=nAPcosnAP是与成角，其中，cos,nAPAPn的距离。到平面就是点绝对值的PcosAP例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz练习:的距离。到平面求，，，平面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290SBCDAxyz|1v2v2v1v空间向量的应用----求异面直线所成的角设异面直线所成的角为,方向向量的夹角为例题：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.1BA1ABC1C1D1Fxyz四、教学过程的设计与实施nBa22anan直线的方向向量为，平面的法向量为空间向量的应用----求直线与平面所成的角设直线与平面所成的角为,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为例题：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),ADADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),Dcos255ADANM与平面所成角的正弦值是255练习：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1D问题：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？anl1n2n空间向量的应用----求二面角1212coscosnnnn设二面角的大小为,两个平面的法向量的夹角为四、教学过程的设计与实施1212coscosnnnn设二面角的大小为,两个平面的法向量的夹角为结论:当法向量1n，2n一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小；当法向量1n，2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小．已知ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，，求平面SAB与SCD所成二面角的余弦值．21AD例题解：由SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD两两互相垂直．以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，则(0,0,1)S，1(,0,0)2S，(1,1,0)C，1(,0,1)2SD，(1,1,1)SC，设平面SCD的法向量为),,(zyxn，则0SDn，0SCn，转化为坐标运算，得.0,021zyxzx取z=1，则)1,1,2(n，3662110)1(0221,cosADnADnADn．四、教学过程的设计与实施正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．巩固练习1：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试求二面角A1－BD－C1的余弦值．巩固练习2：