新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.1.2 等腰三角形

1.1.2等腰三角形制作人靳军强新北师大版八年级上册数学第一章三角形的证明等腰三角形知识回顾ABC等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;D高(简称:“三线合一”)如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC(三线合一).左边方框中的的格式,以后可以直接运用.ACBD12如图,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2(三线合一).轮换条件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三线合一的三种不同形式的运用.”三线合一“的三种语言及条件的轮换【性质定理的推论】等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称:“三线合一”)图形语言高线？符号语言中线？符号语言角平分线?符号语言本节课学些什么？•等腰三角形还具有哪些重要的性质?•除了用定义来判定三角形是等腰三角形外,还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?学习目标•1、命题的证明题的思路、基本步骤和书写格式•2、学会证明等腰三角形中的线段的相等问题•3、学会举一反三运用多种方法多角度思考问题自学指导•阅读课本5-7页，回答问题：•1、证明的基本步骤和书写格式•2、等腰三角形中画出一些线段能否判断他们是否相等？若相等，能证明么？有其他方法么？•3、从“议一议”中体会题目条件的变化对解决问题是否有影响•4、总结等边三角形的特征并证明它们的正确性•5、运用所学习的知识解决随堂练习和习题1、2实践观察猜想证明画一画先画一个等腰三角形,ACB•然后在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高线)，•你能发现其中一些相等的线段吗？•你能证明你的结论吗？小结•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；•底角的两条平分线相等；•两条腰上的中线相等；•两条腰上的高线相等。ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).ACBDE图形语言已知:求证:BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.证明:12ACB21∠2=(已知),又∵∠1=，ABC21∴∠1=∠2(等式性质).在△BDC与△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)例题欣赏1命题的证明驶向胜利的彼岸命题的证明我能行1求证:等腰三角形两腰上的中线相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CM=AC,BN=AB(已知),∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中∵BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已知）,CM=BN（已证）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.2121ACBMN驶向胜利的彼岸命题的证明我能行2求证:等腰三角形两腰上的高相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).在△BPC与△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已证）,∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,∴△BPC≌△CQB（AAS）.∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.ACBPQ等腰三角形中的相等的线段(2)这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.′议一议ACBDE1.已知:如图,在△ABC中,(1)如果∠ABD=,∠ACE=,那么BD=CE吗?如果∠ABD=,∠ACE=呢?由此你能得到一个什么结论?ABC21ACB21ABC31ACB31(2)如果AD=,AE=,那么BD=CE吗?AC21AB21(3)你能证明得到的结论吗？如果AD=,AE=呢?AC31AB31由此你能得到一个什么结论?过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.学无止境想一想1定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°′驶向胜利的彼岸等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？已知：在△ABC中,AB=AC=BC,求证:∠A=∠B=∠C=60°证明：1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.BAEDCO①③;①④;②③;②④课堂小结结论:等腰三角形两底角的平分线相等.结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°证明:等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.练习