有限元法解连续梁静不定问题

连续梁问题的有限元法连续梁的问题有限元的基本步骤首先按照这个步骤用位移法计算一个简单的连续梁，然后从中了解连续梁问题有限元位移法的一些基本概念。如图1所示为一个连续梁，在铰点处分别作用有力矩载荷，求连续梁的内力。1离散化在杆系结构中各杆具有自然划分，成为杆单元，记为e。图1所示的连续梁可划分为两个单元，分别称为单元①、②，各个铰接点称为节点，统一编号为1、2、3称为节点总码，而M1，M2，M3称为节点力矩载荷，如图2所示：2单元分析单元分析就是对已划分的单元进行力学分析，没有必要对每一个单元都进行分析，而只需要对一个典型单元进行分析即可。为此取任意单元e进行分析，首先对该单元的两个端点重新编码为i，j.称为局部码。在该单元的两个端点分别作用有两个力矩，称为杆端力矩。在这两个力距的作用下杆发生变形，如图3所示，在节点i，j处分别产生了转角，称为节点转角，eimeimeiejmejei由力学知识可知：1）当单元e仅在i点作用力矩时如图4所示：2）当单元e仅在j点作用力矩时如图5所示：当两种情况叠加将上述形式写成矩阵形式其中若记若记：则有称作单元e的刚度矩阵，单元分析的主要任务就是求出单元刚度矩阵。ek3.整体分析刚度集成法3.整体分析整体分析的主要任务就是在单元分析的基础上得到整体刚度矩阵。直接利用单元刚度系数集成整体刚度矩阵的方法叫做刚度集成法。对于图7中的连续梁n个节点，n-1各单元，利用刚度集成法，可得出整体刚度矩阵K(n×n阶)如下方程所示矩阵K的非零元素都集中在主对角线及其两侧另外两条对角线上，三条对角线是的元素分布有以下规律：支撑条件的引入结合图8种的连续梁进行讨论。在节点1和2处，转角是未知量，节点力矩是已知量，等于给定的节点力矩载荷。而节点3是固定端，节点力矩是未知量，转角是已知量，即21，21MM，21PP，3M3031）暂不引入支承条件和载荷情况，先建立整体刚度矩阵，写出M与θ之间的转换关系，即2)在节点1和2引入载荷值，在固定端引入支承条件，将上式修改为03为了求解未知转角，将上式展开：仍然保留原矩阵的阶数和排列顺序，为此扩大如下形式：21，非节点载荷的引入1）求等效节点载荷图10所示的连续梁为例：Ⅰ、求单元1与2产生的固端力矩Ⅱ、各节点的约束力矩分别为该节点的相关单元固端力矩之和。III、各节点的约束力矩的反作用力矩为原非节点载荷的等效节点载荷，即2）求各杆端弯矩连续梁在非节点载荷作用下的杆端弯矩由两部分组成：一部分是各杆的固端弯矩；另一部分是在等效节点载荷作用下的杆端弯矩。由于故上式可写成