有限元程序设计--第二章 微分和变分 (2)

湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity有限元基础知识：虚位移原理，加权余量法湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity三本教材•TheFiniteElementMethod-VolumeI•有限单元法基本原理和数值方法•有限元法的实用教程湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity连续介质系统3微分方程(Differentialformulation)变分方程(Variationalformulation)加权余量法Weightedresidualmethod(WRM)GalerkinMethod最小二乘法Leastsquaremethod配点法等里兹法（Ritzmethod)有限元方法Finiteelementmethod(FEM)湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity微分方程•简单的单自由度系统4xu(x,t)dxdxx横截面积A，密度ρ22xxxuAAdxAAxtR0uExXXXX222221uuECxCt平衡方程的直接推导湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity微分方程•边界条件•初始条件5(0,)0ut本质边界条件（位移边界条件）Essentialboundarycondition0(,)uEALtRx自然边界条件（力边界条件）Naturalboundarycondition(,0)0,(,0)0uuxxt湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity虚位移原理•变分方程6UW002001212LLBLLLBLuuEAdxufdxuRxxuEAdxufdxuRx体力和外载荷00u系统的总势能，应变能和外载荷的总势能222221uuECxCt对于上节提到的简单的杆问题212WUkuPukuPu刚度为K，外载为P的平衡方程湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity虚位移原理7UW由于势能Π函数包含了积分式，且可以用位移变量来表示，则在变分法中称为泛函。泛函Π取驻值的必要条件是它的一阶变分等于零，即δΠ＝0。而“容许位移”是指满足体系给定的位移边界条件的位移（称为容许位移），也就是几何可能的位移。容许位移可有无限多种，它们满足全部变形谐调条件，但不一定满足平衡条件。容许位移中只有同时（通过几何和物理关系）满足全部平衡条件者才是所给力学问题的真实解答。由此可知，势能驻值条件式δΠ＝0实际上就是用能量形式表示的平衡条件。000LLBLuuAEdxufdxuRxx著名的虚位移原理Thisisprincipleofvirtualdisplacement湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity虚位移原理800LLBLuuAEdxufdxuRxxTBSTSVVSdVufdVutdS虚位移设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个可能发生的位移即虚位移，则外力对虚位移的功（虚功）必等于结构因虚变形获得的虚应变能，为虚位移原理。湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity虚位移原理-平衡方程和边界条件•更进一步会发生什么？–有变分方程如何得到平衡方程和平衡条件？–Derivethedifferentialequationofequilibriumandboundaryconditionatx=L9uuxx00LLBLuuAEdxufdxuRxxABABBAABABABABdxABABdxABdxABdxABABdxABdxABdx回顾分部积分法湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity由虚位移原理到微分方程1000LLBLuuAEdxufdxuRxxuuxx00LLBLdxufuARExxuudx02200LLLuuuAEAEuuudxdAxxExxABdxABABdx202000LLBLLxLxuuuAEudxEAuEAuufdxuRxxx湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity虚位移原理-平衡方程和边界条件20200LBLxLxuuuAEfudxEARuEAuxxx220BuAEfx0xLuEARx湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity虚位移原理-平衡方程和约束条件•由此我们可以推导得到微分形式–在整个推导过程中，我们仅仅采用了位移边界条件，也就是本质边界条件；–本质边界条件涵盖与泛函中，在W中得到体现ULR–分部积分法12220BuAEfxxLuEARx22BufAt222221uuECxCt湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity•为什么要采用变分的方式推导平衡方程–为建立系统的控制方程提供了一种较为容易的方法，在变分中考虑的是标量（内能和势等)而不是向量（力和位移）；–可以直接推导出控制方程和边界条件，尤其在复杂的系统下，有些变量在直接法中需要考虑而在变分方程中不需要考虑（内力不做有效功）；–可以选择更多的试函数，实验函数可以不满足所有的边界条件，因为有些隐含的边界条件已经包含在泛函中。虚位移原理-平衡方程和约束条件湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity加权残值法和Ritz法•如何求解微分方程14微分算子采用何种方式去逼近,才能使误差最小ErrorLuP令误差与权函数相关联,则有ww=1Error两个问题，如何选择试函数，如何将误差控制到最小引进权函数w,不同的权函数代表不同消除误差的准则LuPLuP0VwLuPdV湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity王琥15()20TVICRRdVCC加权残值法•加权残值法的种类–子域法(Subdomainmethod)•将求解域划分成N个子区域，在每个子区域内另权函数为1，而子区域之外取权函数为0，如果各个子区域内分别取试函数，那么其思想就类似于有限元法；–配点法(Collectionmethod)•指定残值在若干个点上为0，这些点为配点–最小二乘法(Leastsquaremethod)•通过使在整个求解域上的平方和取极小值来消除残值15权函数TVRRdVI1eNeeeeVVwRdVwRdV湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity加权残值法•Galerkin方法–权函数与试函数相同;–是否允许不满足自然边界条件的试函数；–必须是2m可微的，当考虑由子域组合时，那么其连续性的要求无疑提高了；16湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity加权残值法•等截面悬臂梁(求B点的纵向位移)•平衡方程为•边界条件17yxABqL440dyEIqdx23230,00,dyyxdxdydyxLdxdx湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity加权残值法•令试函数为•平衡方程的余量为•首先，用Subdomain方法求解，令只有一个子域，那么180(12024)0LEIcxLqdx为什么选取这样的试函数？542332(1426)ycxLxLxLx(12024)REIcxLq84qcEIL4742LqLyEI湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity加权残值法•配点法(仅仅采用一个点建立消除残值的条件）•最小二乘法190.750xLR114qcEIL4757BqLyEI00xR144qcEIL4772BqLyEI00(12024)(12024)0LLRRdxEIcxLqEIxLdxc0.01017qcEIL40.1424BqLyEI湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity加权残值法•Galerkin法–此时权函数和试函数相同•解析解为205423321426wxLxLxLx05423325423320142614260LLwRdxxLxLxLxcxLxLxLxRdx0.00908qcEIL40.1262BqLyEI40.125BqLyEI湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversityRitz法•Ritz法的特点–同加权残值法相比，Ritz法对应的是泛函–将基本试函数代入到泛函中利用驻值条件建立相关方程–仅仅需要满足本质边界条件，当然，同时满足自然边界条件和本质边界条件是最好的，但找到同时满足两种边界条件通常是非常困难的湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversityRitz法的应用（1）0022180180000111022021LxLLBLLLBLuuEAdxufdxuRxxuEAdxufdxuRxuEAdxux0xu本质边界条件湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,Hu