向量的坐标表示和空间向量基本定理1

成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．3向量的坐标表示和空间向量基本定理第二章第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1在空间直角坐标系中，点P的坐标为__________，向量OP→的坐标也是__________．1．在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．__________叫作空间向量a的坐标，记作a＝_________，a＝____________叫作向量a的坐标表示．(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．向量坐标的求法若向量a不在任何一个坐标平面内，把a的起点移到坐标原点，以a为对角线，以x轴，y轴，z轴为棱，作长方体．长方体各棱长就是相应______________．与平面向量一样，向量起点在原点时，终点坐标就是向量坐标．3．向量a在向量b上的投影一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝____________为向量a在向量b上的投影．任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向量相应坐标．坐标的绝对值|a|cos〈a，b〉成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．空间向量基本定理如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝_____________________.λ1e1＋λ2e2＋λ3e3成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-15．基底(1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个__________．(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个________．(3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作__________．基底基底正交基底成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底．3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．5．空间向量基本定理的证明成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1设a、b、c不共面，过点O作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OP→＝p；过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.于是存在三个实数x，y，z，使OA′→＝xOA→＝xa，OB′→＝yOB→＝yb，P′P→＝zOC→＝zc，OP→＝OA′→＋OB′→＋P′P→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.∴p＝xa＋yb＋zc.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-16．特殊向量的坐标表示若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)．若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)．若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)．若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1思路方法技巧成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量的坐标表示棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{AB→，AD→，AA′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE→，AG→，AF→；(2)EF→，EG→，DG→.[分析]若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}下的坐标．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12DD′→＝AD→＋12AA′→＝(0,1，12)，AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋12AD→＝(1，12，0)，AF→＝AA′→＋A′D′→＋D′F→＝AA′→＋AD→＋12AB→＝(12，1,1)．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)EF→＝AF→－AE→＝(AA′→＋AD→＋12AB→)－(AD→＋12AA′→)＝12AA′→＋12AB→＝(12，0，12)，EG→＝AG→－AE→＝(AB→＋12AD→)－(AD→＋12AA′→)＝AB→－12AD→－12AA′→＝(1，－12，－12)，DG→＝AG→－AD→＝AB→＋12AD→－AD→＝AB→－12AD→＝(1，－12，0)．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[点评]1.求a在单位正交基下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将a表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标为(x，y，z)．2.AB→的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1如图所示，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，BA⊥AC，AA′＝BA＝AC＝1.建立坐标系如图，M为BB′的中点，求C′M→的坐标．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]设i，j，k为标准正交基．∵C′M→＝C′A′→＋A′B′→＋B′M→＝－AC→＋AB→－12AA′→＝－j＋i－12k.∴C′M→＝(1，－1，－12)．[点评]本题主要考查空间向量的坐标表示．解题时，首先要找准标准正交基，然后根据向量a＝xi＋yj＋zk，则a＝(x，y，z)，即可得到结果．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量基本定理如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，AB→＝i，AD→＝j，AP→＝k，试用基底{i，j，k}表示向量PG→，BG→.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[分析]利用三角形法则，平行四边形法则将向量PG→，BG→用AB→，AD→，AP→来表示．由于点G为△PDC的重心，所以有PG＝23PN.[解析]PG→＝23PN→＝23[12(PC→＋PD→)]＝13(PA→＋AB→＋AD→＋AD→－AP→)＝13AB→＋23AD→－23AP→＝13i＋23j－23k.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1BG→＝BC→＋CN→＋NG→＝BC→＋CN→＋13NP→＝AD→－12DC→－13PN→＝AD→－12AB→－(16AB→＋13AD→－13AP→)＝23AD→－23AB→＋13AP→＝－23i＋23j＋13k.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[点评]用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQQA′＝，用基底{a，b，c}表示以下向量．(1)AP→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]连结AC，AD′.(1)AP→＝12(AC→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)＝12(a＋b＋c)．(2)AM→＝12(AC→＋AD′→)＝12(a＋2b＋c)＝12a＋b＋12c.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(3)AN→＝12(AC′→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)]＝12a＋b＋c.(4)AQ→＝AC→＋CQ→＝AC→＋45CA′→＝AC→＋45(AA′→－AC→)＝15AC→＋45AA′→＝15(AB→＋AD→)＋45AA′→＝15a＋15b＋45c.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[点评]用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1投影问题在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图的空间坐标系．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(1)令DA→＝i，DC→＝j，DD1→＝k，试用i，j，k表示DB1→；(2)求DB1→在xOy面上的投影长；(3)求DB1→·i，DB1→·k，DB1→·j的值．[分析]先用i，j，k表示出DB1→，并用投影公式求出第(2)问，第(3)问直接用公式可求出．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)由于B1的坐标为(1,1,1)，则DB1→的坐标为(1,1,1)，即DB1→＝i＋j＋k.(2)连接DB，DB1→在xOy面上的投影长为：|DB1→|cos∠B1DB＝|DB→|＝2.(3)由于DB1→＝i＋j＋k，则DB1→·i＝1，DB1→·k＝1，DB1→·j＝DB1→·k＝1.[点评]本题为综合题，用到了投影公式．(3)题中可由i·k＝i·j＝k·j＝0，i·i＝1，j·j＝k·k＝1求出．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1已知点A的坐标为(3,5，－7)，点B的坐标为(－2,4,3)，则AB→在坐标平面yOz上的射影的长度为多少？[解析]由于A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则A在yOz上的投影为A′(0,5，－7)，B在yOz上的投影为B′(0,4,3)，所以AB→在坐标平面yOz上的投影为A′B′→，所以AB→在yOz面上的投影长度为|A′B′→|＝02＋4－52＋3＋72＝101.成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[点评]求投影有两种方法：①先求出两个点A、B分别在平面上的投影A′、B′，则A′、B′的连线就为AB在平面上的投影；②根据公式a·b0＝|a|cos〈a，b〉，b0为b的单位向量．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1探索拓研创新成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1探索性问题已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面．(2)判断点M是否在平面ABC内．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)由已知，得OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)．∴MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→.∴向量MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)向量MA→，MB→，MC→共面，三个向量的基线又过同一点M，∴四点M，A，B，C共面．∴点M在平面ABC内．成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[点评]通过此题可得结论：空间一点M位于平面ABC内的充要条件