向量组的线性相关性

主要内容向量组等价向量组的线性相关性用定义判别线性相关性第三节向量组的线性相关性线性相关性的判别定理极大线性无关组方程组与向量组的关系的进一步研究一、向量组等价以下我们总是在一固定的数域P上的n维向量空间中进行，不再每次说明了.1.线性表出定义10向量称为向量组1,2,…,s的一个线性组合，如果有数域P中的数k1,k2,…,ks,使=k11+k22+…+kss.这时也称向量可由向量组1,2,…,s线性表出.2.n维单位坐标向量设),1,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21n则称向量1,2,…,n为n维单位坐标向量.显然，任一n维向量=(a1,a2,…,an)均可由n维单位坐标向量线性表出.因为=a11+a22+…+ann.线性表出的意义在于：若向量可由向量组1,2,…,s线性表出,则在由向量组,1,2,…,s所确定的线性方程组中，所对应的方程可由其他方程线性表出，这时所对应的方程在决定方程组的解的过程中不起作用，因此它是多余的方程.例如，设有方程组142,4524,132321321321xxxxxxxxx则方程组所对应的向量组为)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321因为3=31-2，则方程组的第三个方程是多余的，去掉它也不影响方程组的解.事实上，第三个方程等于第一个方程的3倍减去第二个方程，所以满足第一、第二个方程的解一定满足第三个方程也即方程组的解完全由前两个方程确定，第三个方是多余的.3.两个向量组等价的定义定义11如果向量组1,2,…,t中每一个向量i(i=1,2,…,t)都可以经向量组1,2,…,s线性表出，那么向量组1,2,…,t就称为可以经向量组1,2,…,s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.例如，设).1,1,0(,)2,0,1(;)0,2,1(),1,1,1(2121向量组1,2与向量组1,2等价.可4.等价向量组的性质1)反身性：每一个向量组都与它自身等价.2)对称性：如果向量组1,2,…,t与1,2,…,s等价，那么向量组1,2,…,s也与1,2,…,t等价.3)传递性：如果向量组1,2,…,t与1,2,…,s等价，1,2,…,s与1,2,…,p等价那么向量组1,2,…,t与1,2,…,p等价.二、向量组的线性相关性1.定义定义12如果向量组1,2,…,s(s2)中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组1,2,…,s称为线性相关的.)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321例如，向量组是线性相关的，因为3=31-2.从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组的线性相关的定义还可以用另一种说法定义12向量组1,2,…,s(s1)称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,…,ks,使k11+k22+...+kss=0.定义13一向量组1,2,…,s(s1)不线性相关，即没有不全为零的数k1,k2,…,ks,使k11+k22+...+kss=0.就称为线性无关；或者说，一向量组1,2,…,s称为线性无关，如果由k11+k22+...+kss=0可以推出k1=k2=…=ks=0.2.向量组与其部分组的线性相关性的关系如果一向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组就线性相关；反之，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.3.两个特殊向量组线性相关的充要条件1)由一个向量构成的向量组A:a线性相关相关的充要条件是:a1,a2的分量对应成比例.如2)由两个向量构成的向量组A:a1,a2线性的充要条件是:a=0.向量组:,a,a63321121因为-3a1+a2=,06336336332113所以线性相关.而这两个向量的对应分量的比都是1/3.YOX123456123456图3-64.向量组线性相关的几何意义1)由两个2维向量构成的向量组A:a1,a2M1(1,2)M2(2,4)M3(3,6)在直线y=2x取三点M1,M2,M3,作三个向量:)21(11,OMa)4,2(22OMa)6,3(33OMa显然,这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是:a1,a2共线.2)由3个3维向量构成的向量组线性相关的2)(1,1,11RMa)2,0,2(22RMa2),2,0(33RMa向量组a1,a2,a3线性相关,因为2a1-a2-a3=0.M1M2M3OX3Y3Z3R图3–7R(0,0,3),作三个向量:=3.在上取四点:M1(1,1,1),M2(2,0,1),M3(0,2,1),几何意义是这3个向量共面.如给定平面:x+y+z3)四维向量组线性相关的几何意义设有四维向量组,6914,13283,5421,41324321有3=21-2,4=1+22,所以向量组1,四个平面交于同一条直线.如图3–8对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的2,3,4线性相关,其几何意义为:该向量组所2x+3y+z=43x+8y-2z=13x-2y+4z=-54x-y+9z=-6图3–8从几何上讲,若四维向量组所对应的平面组同一直线则该向量组一定线性相关.中至少有三个平面共线,即至少有三个平面交于三、用定义判别线性相关性例1判别n维单位坐标向量组),1,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21n的线性相关性.解设有n个数k1,k2,…,kn,使k11+k22+...+knn=0,也就是k1(1,0,…,0)+k2(0,1,…,0)+…+kn(0,0,…,1)=(k1,k2,…,kn)=(0,0,…,0).于是就有k1=k2=…=kn=0.所以1,2,…,n线性无关.例2判断向量组)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321的线性相关性.解设有3个数x1,x2,x3,使x11+x22+x33=0.这个向量等式对应的线性方程组为,04,0453,02,0242321321321321xxxxxxxxxxxx用消元法求解得，它有无穷多解，当然有非零解.故向量组1,2,3线性相关.由上述两个例子，可以得到用定义判别向量组i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,s的线性相关性的方法是：设有s个数x1,x2,…,xs,使x11+x22+...+xss=0.该向量方程所对应的线性方程组为,0,0,0221122221121221111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa若线性方程组,0,0,0221122221121221111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解，则向量组1,2,…,s线性相关；若它只有零解，则向量组1,2,…,s线性无关.四、线性相关性的判别定理判别定理1设向量组i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,s线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n+1维的向量组i=(ai1,ai2,…,ain,ai,n+1),i=1,2,…,s也线性无关.这个结论可以推广到添几个分量的情形.利用第一节即得向量组的一个基本性质.判别定理2设1,2,…,r与1,2,…,s是两个向量组.如果1)向量组1,2,…,r可以经1,2,…,s线性表出，2)rs,那么向量组1,2,…,r必线性相关.证明由1)有sjjijirit1.,,2,1,为了证明1,2,…,r线性相关，只要证可以找到不全为零的数k1,k2,…,kr,使k11+k22+...+krr=0.为此，作线性组合x11+x22+...+xrr=sjjjiriitx11risjjijixt11risjjijixt11)(如果我们能找到不全为零的数x1,x2,…,xr,使1,2,…,s的系数全为零，那就证明了1,2,…,r线性相关性.这一点是能够做到的，因为由条件2)，即rs，齐次方程组,0,0,0221122221211212111rsrssrrrrxtxtxtxtxtxtxtxtxt中未知量的个数大于方程的个数，根据它有非零解.证毕把推论1如果向量组1,2,…,r可以经1,2,…,s线性表出，且1,2,…,r线性无关，那么rs.直接应用定理2，即得：推论2任意n+1个n维向量必线性相关.证明因为每个n维向量都可以被n维单位向量1,2,…,n,线性表出，且n+1n,所以必线性相关.证毕换个说法，即得：由推论1，得：推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.定理2的几何意义在三维向量的情形，如果s=2,那么可以由向量1,2线性表出的向量都在1,2所在的平面上,因而这些向量是共面的，也就是，当r2时，这些向量线性相关.两个向量组1,2与1,2等价就意味着它们在同一平面上.五、极大线性无关组1.定义定义14一个向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关并且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话)所得的部分向量组都线性相关.例3设有向量组)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321验证部分组1,2、2,3、1,3都是它的极大线性无关组.解因为两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例.而向量组1,2,3中任意两个向量的分量都不成比例，所以向量组1,2、2,3、1,3都是线性无关的.又因为向量组1,2,3线性相关(它们都是1,2,3的极大线性无关组.),因此，这个例子说明，一个向量组的极大无关组可能不是唯一的，但是它的所有极大无关组所含的向量个数相同.于是可得到极大线性无关组的性质.2.性质性质1任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.由性质1可推出如下结论：一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.证明由前的讨论知，一向量组的任意两个极大线性无关组是等价的，再由定理2的两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相同.由此即得定理3.证毕3.向量组的秩定义15向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.例如，向量组)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321的秩为2.关于向量组的秩，有以下结论：1)一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.2)等价的向量组必有相同的秩.3)全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定其秩为零.六、方程组与向量组设有线性方程组)(,)(,)(,2211222222121111212111ssnsnssnnnnAdxaxaxaAdxaxaxaAdxaxaxa