2017专转本高数核心知识点函数及图形第二节 函数的概念

第二节函数伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程：221gts在力学中，质量为m，速度为v的物体运动时所具有的能量（称为动能）221mvE在电学中，电流强度为I的电流通过电阻为R的导线时，在单位时间内所产生的热量221RIQ1在几何中半径为r的圆的面积2rS上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式2xky这就是一个函数关系式。如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了.数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性.下面给出函数的一般定义.2.}),({)(DxxfyyDfRf一、函数概念全体函数值组成的集合称为函数的值域,记为fR或)(Df,即定义设数集RD,ΦD，如果对D中的每一个x，按照某个对应法则f，有唯一的数Ry与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记为)(xfy，Dx。其中D称为定义域。x称为自变量，y称为因变量.3在函数的定义中，对于每个)(fDx，对应的函数值)(xfy是唯一的(因此,也称为单值函数)，注意：例如，2xy而对于每个)(fRy)，以之作为函数值的自变量x不一定唯一.是定义在R上的一个函数，它的值域是}0|{)(yyfR对于每个函数值)(fRy，对应的自变量有两个，即yx和yx.确定函数的两要素：定义域和对应法则。4例1判断下列各对函数是否相同？（1）1,1tsxy（2）xxyxy2,相同（3）2,xyxy不同(定义域不同)（4）33,xyxy不同(对应法则不同)（5）xyxyln2,ln2相同不同(定义域不同)5(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？(d)xarcsin或xarccos,1x；(a)分式的分母不等于零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.定义域的确定：6例2求下列函数的(自然)定义域。因此，函数的定义域为xxy22)1()23ln(1)2(xy225151arcsin)3(xxy解,022)1(xx，22x即定义域为.)2,2[,0)23ln(023)2(xx,13/2xx即.),1()1,32(D7225151arcsin)3(xxy,25151)3(2xx,5564xxx4655,54x因此，函数的定义域为.54[），D81）图象法2）表格法3）解析法(公式法).)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxfRDy二、函数的表示法9在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数0,120,1)(,2xxxxxf例如12xy12xyxyo11021,11,1)(,22xxxxxf再如这也是分段函数，其定义域为]2,1()1,1()1,2[DyOx11122111解例3，设21,410,12)(xxxxxf221),2(4120,1)2(2)2(xxxxxf.)2(xf求.01,212,52xxxx121)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个分段函数的例子.xyo11132)取整函数y=[x]]75[]3[,0]1[]5.3[.4,1，1[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo123414o有理数点无理数点•1xy3)狄利克雷函数(Dirichlet)是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(15三、函数的四则运算设有函数f,g如下：1,)(Dxxfy和2,)(Dxxgy,21ΦDDD且则定义f,g的和、差、积、商如下：Dxxgxfxgf,)()())((Dxxgxfxgf,)()())((}0)(,{,)()())((xgDxxxgxfxgf16在实际应用中，常常不用抽象的函数记号，而直接依次表示为Dxxgxfy,)()(Dxxgxfy,)()(}0)(,{,)()(xgDxxxgxfy17设函数)(xfy的定义域为]3,0[a(0a)，求函数)32()()(axfaxfxg的定义域.解例4aaxaax332030axa2axa323因此g(x)的定义域为.3,23aa18