-2014年职高数学第一轮复习排列与组合

排列与组合返回目录返回目录1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．考试大纲问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？236P甲、乙；甲、丙；乙、丙3从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合的概念有什么共同点与不同点？组合定义:组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?一、概念1、排列与组合的区别将一个事件内的元素的顺序调换，如果这个事件不变，那么是组合问题,如果这个事件改变，那么是排列问题。排列问题要考虑位置关系；组合问题不需要考虑位置关系。2、乘法原理与加法原理判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为)!(!!mnmnPPCmmmnmn二、基本公式从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列数为)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnPmn11mnmnCC组合性质1mnmnmnnCCC——知识梳理——返回目录一、排列1．排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm表示．3．排列数公式：Pnm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝________(n，m∈N*，m≤n)，规定0！＝________，当m＝n时，Pnn＝________．1n!n！（n－m）！返回目录二、组合1．组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示．3．组合数公式：Cnm＝______________________________＝n！m！（n－m）！＝mnmmPP，这里m，n∈N*且m≤n.规定Cn0＝1，在这个规定下，组合数公式中的m可以取0.4．组合数的性质：Cnm＝Cnn－m；Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1.n（n－1）…（n－m＋1）m！35297575100:,,,PPCC计算0123234597989999:1)2)CCCCCC化简三、七类典型的排列组合问题1、有特殊元素或特殊位置的排列问题：一般地，分步处理，优先（第一步）处理特殊元素或特殊位置。例:由0,1,2,3,4这五个数字能组成多少个无重复数字的五位偶数练习：从7名运动员选4人参加4100米的接力赛，其中甲乙两人都不跑中间两棒的方法有多少种？2、相邻的排列问题：一般地，（分两步）先将相邻的元素合并（看成一个元素）与其它元素一起排列好，再处理好合并的元素间的位置关系。例：在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有()A．6种B．36种C．72种D．120种[解析]将这六名同学排成一排，可按以下步骤进行：①把高一的1名同学、高二的2名同学、高三的3名同学分别当作一个整体排成一排，有3×2×1＝6种排法；②高二的2名同学之间，有2种排法；③高三的3名同学之间，有3×2×1＝6种排法；∴根据分步乘法计数原理，不同的排法共有6×2×6＝72种，故选C.返回目录练习：一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9分析：属排列问题；推理：相邻问题；结论：捆绑法得出结论．．返回目录[答案](1)C3、不相邻的排列问题一般地，（分两步）先将普通元素排列好，再将不相邻的元素插入普通元素间的空隙。例:6人站成一排,甲.乙.丙三人互不相邻的排法有多少种?333334PP解:先排甲.乙.丙以外的3人有P种排法同时这三人排完后出现了4个空档再将甲乙丙这三人插入这4个空档共有种排法4、两类不同的元素的混合排列问题一般地，先取后排（分步处理），先分别从两类元素中取出需用元素的组合，再混合在一起进行排列。,,,,______abcde例:从五个字母中任取2个,并从1,2,3,4,5五个数字中任取3个,将它们排成一列,所有的排法总数为个5、可重复的排列一般地，应该从位置方面进行考虑。（当对元素和位置分辨不清时，可从两方面分别进行考虑通顺者为正确）例：由1，2，3，4，5，可以组成多少个有重复数字的五位数。6、分配问题一般原则是分步地“取”，（含排列的意味）最好是先分堆（遇到平均分堆就除以堆数的排列数），再分配（排列）（1）注意分“堆”与分给“人”的区别；（2）注意均匀分配与不均匀分配的区别；（3）注意分给“人”的不均匀分配时有对某些人指定量与不指定量的区别返回目录例1有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．返回目录解：(1)分三步：先选一本有C61种选法；再从余下的5本中选2本有C52种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步乘法计数原理知有C61C52C33＝60种选法．(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C61C52C33p33＝360种选法．(3)先分三步，则应是C62C42C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为分别A，B，C，D，E，F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则C62C42C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共有p33种情况，而且这p33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有22264233CCCP＝15(种)．返回目录(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有22264233CCCP·P33＝C62C42C22＝90(种)．归纳总结求排列问题的基本解法有返回目录直接法对无限制条件的排列，直接列出排列数计算优先法对特殊元素(或位置)优先安排捆绑法对有相邻元素的排列插空法对有不相邻元素排列(间隔排列)分排问题对元素分成多排，可归结为一排考虑，再分段研究先整体后局部对“小集团”排列问题定序问题可先不考虑顺序限制进行排列，再除去定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化处理1、有3名男生，4名女生，求在不同的要求下相应的排列方法数。1）全体排成一行2）选其中5人排成一行3）全体排成一行，其中甲只能在中间或两头位置4）全体排成一行，其中甲乙只能在两头。5）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边6）全体排成一行，男生女生各在一起，7）全体排成一行，其中男生必须在一起8）全体排成一行，其中男女生各不相邻9）全体排成一行，甲必须在乙的左边10）排成前后两排，前排三人，后排四人。775716362626611565553423423535343477771.2.3.4.5.6.7.8.19.210.ppcppppccpppppppppp分两类甲在最右边和甲在其他五个位置上1、用0、1、2、3、4、5可组成-------------个能被25整除的无重复数字的四位数。解：分两类，尾数为25与50。练习题(1)三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为________种．(2)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数有________个．（3）某班毕业班晚会原定的五个节目已排成节目单，开演前又增加2个节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同的插法有（）个返回目录[答案](1)144(2)28(3)42返回目录[解析](1)属不相邻问题，可用插空法，分为两个步骤完成：先排3位老师，有P33种排法；再把三位学生插入老师之间的4个空当(包括头尾2个位置)，有P43种排法，根据分步乘法计数原理，不同的排法总数为P33·P43＝6×24＝144种．返回目录(2)属“小集团”排列问题，分为三类：第1类，1和3两个奇数夹着0，把这3个元素看作一个整体，与另外两个偶数排列，有P33种排法；再考虑1和3之间有P22种排法，这样的不同排法共有P33·P22＝12种．第2类，1和3两个奇数夹着2，把这3个元素看作一个整体，与另外两个偶数排列，注意0不能在首位，有2P22种排法；再考虑1和3之间有P22种排法，这样的不同排法共有2P22·P22＝8种．第3类，1和3两个奇数夹着4，与第2类相同，不同排法共有2P22·P22＝8种．根据分类加法计数原理，这样的五位数有12＋8＋8＝28个．（3）分两类，两个节目分开与两个节目相邻。221626ppp另解：第一步：先把一个节目插空，有6个空位可选，然后产生了7个空位，第二步：再把第二个节目插入，有7种方法。故共有42种返回目录变式题(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484(2)新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校实习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为()A．18B．15C．12D．9[答案](1)C(2)D返回目录[解析](1)方法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，C163－4C43－C42C121＝560－88＝472.方法二：有红色卡片的取法有C41C32C41C41＋C41C31C42，不含红色卡片的取法有C41C41C41＋C31C42C81，总共不同取法有C41C32C41C41＋C41C31C42＋C41C41C41＋12113424CCCC＝472.(2)先安排高三年级，从除甲、乙、丙的3人中选2人，有C32种选法；再安排高一年级，有C3