小船渡河模型(含答案)

1运动的合成与分解实例——小船渡河模型一、基础知识（一）小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．(3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝dv1(d为河宽)．②过河路径最短(v2v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝v2v1.③过河路径最短(v2v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cosα＝v1v2，最短航程：s短＝dcosα＝v2v1d.（二）求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极限的方法处理．二、练习1、一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.若船在静水中的速度为v2＝5m/s，则：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示．2合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s.t＝dv2＝1805s＝36sv＝v21＋v22＝525m/sx＝vt＝905m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示．有v2sinα＝v1，得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短．x′＝d＝180m.t′＝dv2cos30°＝180523s＝243s答案(1)垂直河岸方向36s905m(2)向上游偏30°243s180m2、一条船要在最短时间内渡过宽为100m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是()A．船渡河的最短时间是25sB．船运动的轨迹可能是直线C．船在河水中的加速度大小为0.4m/s2D．船在河水中的最大速度是5m/s答案C解析船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝1005s＝20s，A错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B错误；船在最短时间内渡河t＝20s，则船运动到河的中央时所用时间为10s，水的流速在x＝0到x＝50m之间均匀增加，则a1＝4－010m/s2＝0.4m/s2，同理x＝50m到x＝100m之间a2＝0－410m/s2＝－0.4m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4m/s2，C正确；船在河水中的最大速度为v＝52＋42m/s＝41m/s，D错误．3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则()3A．船渡河的最短时间是60sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船航行的轨迹是一条直线D．船的最大速度是5m/s答案BD解析当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t＝dv2＝3003s＝100s，A错，B对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v＝42＋32m/s＝5m/s，C错，D对．4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为()A．t甲t乙B．t甲＝t乙C．t甲t乙D．无法确定答案C解析设两人在静水中游速为v0，水速为v，则t甲＝xOAv0＋v＋xOAv0－v＝2v0xOAv20－v2t乙＝2xOBv20－v2＝2xOAv20－v22v0xOAv20－v2故A、B、D错，C对．5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距233H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是()A．甲、乙两船到达对岸的时间不同B．v＝2v0C．两船可能在未到达对岸前相遇D．甲船也在A点靠岸答案BD解析渡河时间均为Hvsin60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由vcos60°＝v0得v＝2v0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos60°＋v0)Hvsin60°＝233H，刚好到达A点，综上所述，A、C错误，B、D正确．6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100m远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选4定后就不再改变，则()A．快艇的运动轨迹可能是直线B．快艇的运动轨迹只能是曲线C．最快到达浮标处通过的位移为100mD．最快到达浮标处所用时间为20s解析快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A错误，B正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100m，C错误；由题图甲可知快艇的加速度为a＝ΔvΔt＝0.5m/s2，最短位移为x＝100m，对快艇由x＝12at2得：t＝2xa＝2×1000.5s＝20s，即最快到达浮标处所用时间为20s，D正确．答案BD