高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知AM=MC，MBDM.故DCDMMCMBAMAB.即DCAB//且|AB|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量AD1,AD2,AD3,AD4.证如图8-2，根据题意知511BDa,5121DDa,5132DDa,5143DDa,故AD1=-（1BDAB）=-51a-cAD2=-（2BDAB）=-52a-cAD3=-（3BDAB）=-53a-cAD4=-（4BDAB）=-54a-c.4.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量21MM及-221MM.解21MM=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-221MM=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.解向量a的单位向量为aa，故平行向量a的单位向量为aa=111（6，7，-6）=116,117,116，其中11)6(76222a.6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）.9.自点P0），，（000zyx分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz面的垂线，垂足F坐标为），，000(zx；P0D为点P0关于xOy面的垂线，垂足D坐标为），，0(00yx；P0E为点P0关于yOz面的垂线，垂足E坐标为)0(0ozy，，.P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足A坐标为），0,0(ox；P0B为点P0关于y轴的垂线，垂足B坐标为)0,,0(0y；P0C为点P0关于z轴的垂线，垂足C坐标为),0,0(0z.10.过点P0），，（000zyx分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P0且平行于xOy面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB=a22，于是各顶点的坐标分别为A)0022(，，a，B（），022,0(a），C（-a22，0，0），D（0，-a22，0），E（a22，0，a），F（0，a22，a），G（-a22，0，a），H（0，-a22，a）.12.求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M到x轴的距离为d1=345)3(22，点M到y轴的距离为d2=415422，点M到z轴的距离为d3=525)3(422.13.在yOz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz面上，不妨设为P（0，y，z），点P与三点A，B，C等距离，,)2()1(3222zyPA,)2()2(4222zyPB.)1()5(22zyPC由PCPBPA知，222222)2()2(4)2()1(3zyzy22)1()5(zy，即.)1()5()2()1(9,)2()2(16)2()1(922222222zyzyzyzy解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.14.试证明以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由2798)63()14()102(,7)93()14()42(,7)96()11()410(222222222BCACAB知.222ACABBCACAB及故△ABC为等腰直角三角形.15.设已知两点为M1（4，2，1），M2（3，0，2），计算向量21MM的模、方向余弦和方向角.解向量21MM=（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1），其模2412-1-22221）（）（MM.其方向余弦分别为cos=-21，cos=-22，cos=21.方向角分别为3,43,32.16.设向量的方向余弦分别满足（1）cos=0；（2）cos=1；（3）cos=cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos=0得知2，故向量与x轴垂直，平行于yOz面.（2）由cos=1得知=0，故向量与y轴同向，垂直于xOz面.（3）由cos=cos=0知2，故向量垂直于x轴和y轴，即与z轴平行，垂直于xOy面.17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角为3，求r在u轴上的投影.解已知|r|=4，则Prjur=|r|cos=4∙cos3=4×21=2.18.一向量的终点在点B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解设A点坐标为（x，y，z），则AB=（2-x，-1-y，7-z），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A点坐标为（-2，-3，0）.19.设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.1.设kjibkjia2,23，求（1）baba及；（2）ba2b3a2-及）（；（3）ba,的夹角的余弦.解（1）），（），，（1-2,12-1-3ba，）（）（）（31-2-21-13ba121213kji=（5,1,7）.（2）1836)(63)2(baba)14,2,10()7,1,5(2)(22baba（3222222)1(21)2()1(33),cos(bababa212361432.设cba,,为单位向量，满足.,0accbbacba求解已知,0,1cbacba故0）（）（cbacba.即0222222accbbacba.因此23-21222）（cbaaccbba3.已知M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与3221,MMMM同时垂直的单位向量.解21MM=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）32MM=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于3221MMMM与3221,MMMM同时垂直，故所求向量可取为32213221MMMMMMMMa）（，由3221MMMM=220142kji=（6，-4，-4），17268)4()4(62223221MMMM知).172,172,173()4,4,6(1721a4.设质量为100kg的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z轴负方向）.解21MM=（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F∙21MM=（0,0，-980）∙（-2,3，-6）=5880（J）.5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处，有一与1OP成角1的力F1作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处，有一与2OP成角2的力F2作用着（图8-6），问1，2，x1，x2，21,FF符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为0sinsin222111xFxF，即222111sinsinxFxF.6.求向量），（4,3-4a在向量）（1,2,2b上的投影.解236122)1,2,2()4,3,4(Pr222bbaajb.7.设)4,1,2(),2,5,3(ba，问与有怎样的关系，能使ba与z轴垂直？解ba=（3,5，-2）+（2,1,4）=（42,5,23）.要ba与z轴垂直，即要（ba）（0,0,1），即（ba）∙（0，0,1）=0，亦即（42,5,23）∙（0,0,1）=0，故（42）=0，因此2时能使ba与z轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=2，只要证明0BCAC即可.由BCAC=)()(OCBOOCAO=2OCBOOCOCAOBOAO=022OCOCAOOCAOAO.故BCAC,∠ACB为直角.9.已知向量jickjibkjia23,32和，计算：（1）bcacba)()(（2）)()(cbba（3）cba)(解（1）8)3,1,1()1,3,2(ba，8)0,2,1()1,3,2(ca，bcacba)()()24,8,0()3,1,1(8)0,2,1(8ki248.（2）ba=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），cb=（1，-1,3）+（1，-2,0）=（2，-3,3），)()(cbba332443kjikj)1,1,0(.（3）cba)(.202131113210.已知kjOBkiOA3,3，求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知S△OAB=OBOA21，)1,3,3(310301kjiOBOA，OBOA191)3()3(22S△OAB21911.已知),,()