2017考研数学：线性代数必考公式与定理

考研VIP只为更出众考研数学：线性代数必考公式与定理12121211121,,...,2122212,,...,12......(1)..................nnnniiiniiniiiinnnnaaaaaaaaaaaa基本性质性质一：如果一个行列式的某一行全为0，则行列式的值等于0.性质二：如果一个行列式的某两行元素对应成比例，则行列式的值等于0.性质三：将行列式的任意两行互换位置后，行列式改变符号。性质四：将行列式的某一行乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍。性质五：将行列式的一行的k倍加到另一行上，行列式的值不变。性质六：如果行列式某一行的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别为对应两个加数，其余行与原行列式相等。即111211112111121212222122221222112212121212..........................................................................................nnnnnniiiiininiiiniinnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaabababaaabbaaaaaa12..................innnnnbaaa性质七：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即111211121121222122221212..........................................nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa。考研VIP只为更出众低阶行列式的计算公式,abadbccd123123123231312321223132123aaabbbabcabcabcabcabcabcccc2）上三角或下三角行列式11121112222122112212...0...00......0...........................00......nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa范德蒙行列式21111211232222222211233331111121123111...11......1......()1...::::::::...1...nnnnnjiijnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa代数余子式，记作(1)ijijijAM行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其代数余子式乘积之和，即1122...1,2,...,iiiiininaAaAaAinA1122...1,2,...,jjjjnjnjaAaAaAin定义2.4】：设()ijmnaA，()ijnkbB（注意A的列数和B的行数相等），定义矩阵()ijmkcC，其中11221...nijijijinnjikkjkcabababab，称为矩阵A与矩阵B的的乘积，记作C=AB。考研VIP只为更出众定义2.4】：设()ijmnaA，()ijnkbB（注意A的列数和B的行数相等），定义矩阵()ijmkcC，其中11221...nijijijinnjikkjkcabababab，称为矩阵A与矩阵B的的乘积，记作C=AB。方阵的行列式①设,AB为n阶方阵，且k为一实数，则有||=||TAA，|k|=k||,||||||||||nAAABABBA②AC=|A||B|OB，AO=|A||B|CB，(1)mnOB|A||B|AO其中,AB分别为m阶，n阶方阵。此公式又称为拉普拉斯展开定理。【定义2.7】：对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵，并称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作-1B=A。设ijA为n阶矩阵A的代数余子式（回忆代数余子式的定义），定义1121112222*12......()...............nnjinnnnAAAAAAAAAAA为A的伴随矩阵。1.基本性质性质一：若A可逆，则1A唯一。性质二：若A可逆，则1,TAA均可逆，且1111,TTAAAA。性质三：若A,B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且111AB=BA。推广：111112-11mmmAA...A=AA...A，11nnAA。性质四：若A可逆，且0k则kA可逆，且111kkAA。考研VIP只为更出众性质五：若A可逆，则11AA。性质六：若A,B均可逆，则AOOB,OBAO均可逆且111AOAO=OBOB，111OBOA=AOBO。2.常用公式定理定理1：设A为n阶方阵，*A为它的伴随矩阵则有**AAAAAE。定理2：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为0A。定理3：设A为n阶方阵，那么当AB=E或BA=E时，有1B=A定义2.10】：矩阵A最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A的秩，记为()rA。常用公式定理1）,0rrrkkTAAA；2）1rAOA；3）1rAAO且A各行元素成比例；4）设A为n阶矩阵，则0rnAA。定义2.11】：我们对矩阵可以做如下三种初等行（列）变换：a.交换矩阵的两行（列）；b.将一个非零数k乘到矩阵的某一行（列）；c.将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行上。【定义2.12】：对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵设矩阵A,B为同型矩阵，如果矩阵A经过有限次初等行变换之后可以变成B，则称矩阵考研VIP只为更出众等价，记作AB。常用公式定理定理4：对矩阵A左乘一个初等矩阵，等于对A作相应的行变换；对矩阵A右乘一个初等矩阵，等于对A作相应的列变换。定理5：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵定理6：矩阵A可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即12,,...,mPPP，其中12,,...,mPPP均为初等矩阵。定理7：矩阵A与矩阵B等价的当且仅当存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B。定义3.3】：设12,,...,m是m个n维向量，12,,...mkkk是m个常数，则称1122...mmkkk为向量组12,,...,m的一个线性组合。【定义3.4】：设12,,...,m是m个n维向量，是一个n维向量，如果为向量组12,,...,m的一个线性组合，则称向量可以由向量组12,,...,m线性表出。定义3.5】：设有向量组（Ⅰ）12,,...,m与向量组（Ⅱ）12,,...,t，如果则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）能相互线性表出，则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，记作（Ⅰ）（Ⅱ）。3.线性相关设12,,...,m是m个n维向量，如果存在不全为零的实数12,,...,mkkk，使得1122...0mmkkk，则称向量组12,,...,m线性相关。考研VIP只为更出众如果向量组12,,...,m不是线性相关的，则称该向量组线性无关。内积与正交【定义3.6】：假设1212,,...,,,,...,TTnnaaabbb，则定义和的内积1,nTiiiab。【定义3.7】：如果向量和的内积,0，则称向量和正交【定义3.8】：设12,,...,m为由非零向量组成的向量组，如果其中任意两个向量都是正交的，则称该向量组为正交向量组。与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组12,,...m线性相关当且仅当12,,...m中至少有一个是其余1m个向量的线性组合。定理2：若向量组12,,...m线性相关，则向量组121,,...,,mm也线性相关。注：本定理也可以概括为“部分相关整体相关”或等价地“整体无关部分无关”。定理3：若向量组12,,...m线性无关，则向量组12,,...m的延伸组1212,,...,mm也线性无关。定理4：已知向量组12,,...m线性无关，则向量组12,,...,m线性相关当且仅当可以由向量组12,,...m线性表出。定理5：阶梯型向量组线性无关。定理6：若向量组12,,...,s可以由向量组12,,...,t线性表出，且12,,...,s线性无关，则有st。定理7：1n个n维向量必然线性相关。考研VIP只为更出众施密特正交化这是把线性无关向量组改造为与之等价的正交向量组的方法。假设12,,...,n线性无关，则12111221111,,,,...,,,nninniiii此时12,,...,n是和12,,...,n等价的正交非零向量组。向量12,,...,m的极大线性无关组中所含向量个数称为该向量组的秩，记作12,,...,mr。定理8：任一向量组和自己的极大线性无关组等价。推论1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。推论2：等价的向量组的极大线性无关组等价。定理9：向量组任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相等。定理10：矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。定理11：设12,,...,n为n个n维向量，则12,,...,n线性无关的充要条件是以它们为列向量的矩阵的行列式12,,...,0n。定理12：如果向量组12,,...s可以由向量组12,,...,t线性表出，则1212,,...,,...,strr。定理13：向量组12,,...,n能线性表出向量的充要条件是1212,,...,,,...,,nnrr。线性方程组解的存在性定理16：设12,,...,nA，其中12,,...,n为A的列向量，则线性方程组Axb有解向量b能由向量组12,,...,n线性表出；考研VIP只为更出众1212,,...,,,...,,nnrrb；,rArAb2．线性方程组解的唯一性定理17：当线性方程组Axb有解时，Axb的解不唯一（有无穷多解）线性方程组的导出组0Ax有非零解；向量组12,,...,n线性相关；12,,...,nrn；rAn。推论1：设A为n阶方阵，则线性方程组Axb有唯一解的充要条件是0A定理18：如果12,为齐次线性方程组0Ax的两个解，则对任意的实数12,kk，1122kk仍为0Ax的解。【定义3.13】：假设齐次线性方程组0Ax有非零解。向量组12,,...,s称为齐次线性方程组0Ax的基础解系，如果它们满足如下三个条件：（1）12,,...,s都是0Ax的解；（2）12,,...,s线性无关；（3）0Ax的任意解都可以由12,,...,s线性表出。如果12,,...,s为0Ax的基础解系，则0Ax的通解可以表示为112212...(,,...,)ssskkkkkkR