第9讲 镜像法

第9讲镜像法第九讲镜像法第9讲镜像法•镜像法的基本原理•接地导体平面的镜像•导体球面的镜像•导体圆柱面的镜像•点电荷与无限大电介质平面的镜像•线电流与无限大磁介质平面的镜像本讲内容第9讲镜像法几个实例：非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷产生的电位替代。求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位问题的提出qq′非均匀感应面电荷等效电荷第9讲镜像法镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。几个实例：问题的提出接地导体球附近点电荷产生的电位用等效电荷代替非均匀感应电荷q非均匀感应电荷q′等效电荷等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置——镜像法。第9讲镜像法问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？条件：回顾：静电场的惟一性定理•已知场域V内的自由电荷分布和电介质特性结论：场域V内的位函数具有惟一确定解。SSn•已知场域V的边界面S上的或的值一、镜像法原理方法：在求解区域外设置等效电荷，替代边界上分布电荷的作用目的：将复杂边值问题转换为无界均匀媒质空间的问题第9讲镜像法一、镜像法原理若镜像电荷的引入满足：电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）电位分布仍满足原边界条件则求得的解就是正确的。——惟一性定理确定镜像电荷的两条原则：等效电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。：像电荷的个数、位置及其电量镜像法应用的关键点镜像电荷的确定明确等效求解的“有效场域”。第9讲镜像法等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同。由唯一性定理，知解唯一正确。二、平面导体界面的镜像1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像qh有效区域qhhq原电荷：镜像电荷:(求解域外),qh,qqhh第9讲镜像法1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间内的电位分布为：11(,,)()4'qxyzRR22222211()(0)4()()qzxyzhxyzh0snnzDEnz2223/22()qhxyh2223/22()inssqhqdsdxdyqxyh点电荷在导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。接地导体分界面上感应电荷分布二、平面导体界面的镜像第9讲镜像法1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像思考•无限大导体平板不接地，有何影响？•有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？qhqh二、平面导体界面的镜像第9讲镜像法2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像hhl有效区域RRlxzhl导体等效问题：''llzh上半空间的电位分布为：11(,,)(lnln)2'lxyzRR2222()ln(0)2()lxzhzxzh满足原问题的边界条件，所得的解正确。二、平面导体界面的镜像第9讲镜像法3、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为，则所有镜像电荷数目为2n-1个。nd11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1123qqqq1231111()4πqRRRR电位：qd12d2160°二、平面导体界面的镜像第9讲镜像法三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外PqarRd1()4πqqRR??dq问题：qPaq'rR'Rdd'球面上的感应电荷可用镜像电荷q'来等效。q'应位于导体球内（不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d'。则有点电荷q位于半径为a的接地导体球外，距球心为d。第9讲镜像法三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外qPaq'rR'Rdd'1'[]04'raraqqRR镜像电荷的确定由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域，且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为0，即：222cosRrdrd22''2'cosRrdrd221(42cosqadad22')0'2'cosqadadra22222222()'(')2('')cos0adqadqadqdq第9讲镜像法三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外镜像电荷的确定22222222()'(')2('')cos0adqadqadqdq22222222()'(')02('')0adqadqadqdq2''(''aqqqqdadddd或舍去）qPaq'rR'Rdd'——导体球镜像电荷第9讲镜像法三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外接地导体球边界静电问题qPaq'rR'Rdd'2214π2cosqrdrd222232()4π(2cos)Sraqdaraadad2222ππin223200()sinddd4π(2cos)SSqdaaaqSqaadadd导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷电量相等。球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为2222()()2()cosaradradrad第9讲镜像法三、导体球面的镜像2、点电荷位于接地导体球壳内镜像电荷的确定aqdObq′d’rR′RP如图所示接地空心导体球壳的内半径为a、外半径为b，点电荷q位于球壳内，与球心相距为d(da)。•感应电荷是如何分布的？分布在球壳的内表面上。,aqqd2add•镜像电荷q′应位于何处？位于导体空腔外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。•|q'||q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量•像电荷的位置和电量与外半径b无关（为什么？）第9讲镜像法三、导体球面的镜像2、点电荷位于接地导体球壳内接地导体球壳的静电问题aqdObq′d’rR′RP导体球面上的总感应电荷与所设置的镜像电荷不相等。球壳内的电位函数为球壳内表面的总感应电荷为球壳内表面感应电荷面密度为22222201()4π2cos()2()cosqarardrddradrad2202232()4π(2cos)Sraqadraadad2222ππin223200()sinddd4π(2cos)SSqadaqSqaadad第9讲镜像法三、导体球面的镜像3、点电荷位于不接地导体球面外aqrPd1q′d2-q′R′R导体球不接地时的特点：•导体球面是电位不为零的等位面•球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应电荷为零。负电荷分布与接地球球分布相同正电荷均匀分布与共同使使球面电位为0q使球面为等势面问题：如何确定镜像电荷？qaa=+aaa第9讲镜像法三、导体球面的镜像3、点电荷位于不接地导体球面外q′aq″a+qPaq'rR'Rdd'q2,aaqqddd0aqqqda，qaa=+aaa第9讲镜像法三、导体球面的镜像3、点电荷位于不接地导体球面外0aqqqda，01()4qqqRRr球外任意点的电位为qPaq'rR'Rdd'q2,aaqqddd不接地导体球外点电荷的镜像电荷第9讲镜像法三、导体球面的镜像4、点电荷位于不接地空心球壳内aqqd,add2aqdobaqobPaq'rR'Rdd'qPbrqq’’=q，位于球心第9讲镜像法四、导体圆柱面的镜像1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像线电荷与导体圆柱lxoa0d线电荷与导体圆柱的镜像ald(,)Pxo0ld问题：密度为ρl的无限长线电荷位于半径为a的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷。第9讲镜像法由于导体圆柱接地，所以当时，电位应为零，即四、导体圆柱面的镜像1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像222211lnln222cos2cosllCdddd222211lnln0222cos2cosllCadadadad将上式对φ求导，可以得到2222()()2()cos0lllldaddadadd2222()()00lllldaddada设镜像电荷的线密度为，且距圆柱的轴线为，则由和共同产生的电位函数ldll2lladd第9讲镜像法四、导体圆柱面的镜像1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像导体圆柱面外的电位函数：2242222cosln22cosldadaCddd由时，a0故2242222222cosln22cosldadaaadda导体圆柱面上的感应电荷面密度2222()2(2cos)lSadaaadad导体圆柱面上单位长度的感应电荷222in220()dd22coslSlSdaaSaadad感应电荷与镜像电荷相等ln2ldCa第9讲镜像法四、导体圆柱面的镜像2、两平行导体圆柱面的镜像图1两平行导体圆柱hahall图2两平行导体圆柱的等效电荷lblhhbaa特点：两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为、且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代。l问题：两平行导体圆柱半径均为a，轴线间距为2h，单位长度分别带电荷和。ll第9讲镜像法四、导体圆柱面的镜像2、两平行导体圆柱面的镜像两平行导体圆柱的等效电荷lblhhbaa通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。2add由2()()hbhba22bha利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b。由对称性第9讲镜像法五、无限大介质分界平面的镜像1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像图1点电荷与电介质分界平面zx12qh问题：求解空间中的电位分布（上半空间及下半空间）。特点：•在介质分界面上存在极化电荷分布•空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。问题：如何确定镜像电荷？第9讲镜像法五、无限大介质分界平面的镜像1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像计算上半空间中的电位由镜像法，镜像电荷须位于下半空间介质1的镜像电荷Pqhh11xzqRR计算下半空间中的电位由镜像法，镜像电荷须位于上半空间介质2的镜像电荷22qqPxzhR??qq问题：由“边界条件”来确定。第9讲镜像法五、无限大介质分界平面的镜像1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像介质1的镜像电荷Pqhh11xzqRR介质2的镜像电荷22qqPxzhR介质1中的电位为122222211(,,)[]4()()qqxyzxyzhxyzh(0)z222221(,,)4()qqxyzxyzh(0)z介质2中的电位为待求第9讲镜像法五、无限大介质分界平面的镜像1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像12121212qqqq1020zz211020zzzz由电位的边界条件qqqq1211()()qq