第9章数学形态学及其应用

第9章数学形态学及其应用内容提要:9.1概述9.1.1数学形态学的发展简史及基本思想9.1.2几个基本概念9.2二值形态学9.2.1二值腐蚀9.2.2二值膨胀9.2.3二值开运算9.2.4二值闭运算9.3灰值形态学9.3.1~9.3.4灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算9.3.5灰值形态学梯度9.3.6高帽变换和低帽变换9.3.7开－闭运算和闭－开运算9.4彩色形态学（选学）9.4.1彩色形态学的基本方法9.4.2基于数学形态学的彩色图像滤波9.1概述9.1.1数学形态学的发展简史及基本思想可回溯到19世纪Euler、20世纪Minkowski等人的研究。1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。1968年在巴黎矿业学院创建了数学形态学研究中心。Matheron于1975年出版的《RandomSetsandIntegralGeometry》一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑逻辑论，为数学形态学奠定了坚实的理论基础。1982年Serra的专著《ImageAnalysisandMathematicalMorphology》是数学形态学发展的重要里程碑。1985年以后，一些相关领域的国际会议开始把数学形态学列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。1990年起，SPIE每年举办一次“ImageAlgebraandMorphologicalImageProcessing”会议。1986年《计算机视觉与图形图像处理杂志》(GVGIP)出版了数学形态学专刊1989年和1994年《JournalofSignalProcessing》出版了形态学在信号处理中的应用研究专辑。数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科•以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。•数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。•数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。数学形态学的基于集合的观点•（1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义；•（2）所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。•形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适合视觉信息的处理和分析。•基本思想：–利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。图9.1数学形态学的方法移位、交、并等集合运算输出图像输入图像结构元素结构元素的选择十分重要•根据探测研究图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、大小、灰度、色度等信息。•不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符合人的视觉特性的结构元素是分析图像的重要步骤。•最基本的形态学运算有：膨胀,腐蚀，开，闭。•用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理，可以解决–抑制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建等方面的问题。数学形态学进行图像处理有其独有的特性：•（1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系。•（2）是一种非线性的图像处理方法，并且具有不可逆性。•（3）可以并行实现。•（4）可以用来描述和定义图像的各种集合参数和特征。9.1.2几个基本概念•1.击中与击不中•设有两幅图像A和B，如果A∩B≠Ф（空集），那么称B击中（hit）A，记为B↑A，；否则，如果A∩B=Ф，称B击不中（miss）A。•2.平移和反射•设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为•A＋b＝{a＋b|a∈A}（9.1）•即整个图像沿着向量b的方向平行移动。•一幅数字图像A关于原点的反射定义为•AV＝{a|-a∈A}（9.2）•3.结构元素•结构元素与被处理的目标图像中抽取何种信息密切相关。•在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种“结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。•根据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平形、圆形等。•在多尺度形态学分析中，结构元素的大小可以变化，但结构元素的尺寸一般地要明显小于目标图像的尺寸。9.2二值形态学•二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值只取两种值的图像。–两个灰度值可取为0（相应的点构成背景）和1（相应的点构成景物）。•二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种最基本的运算为基础的。–一般设集合A为图像集合，集合B为结构元素，数学形态学运算是用B对A进行操作。9.2.1二值腐蚀集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:AB(9.3)AxBx:dd/8d/8dd/4d/4ABABd图9.2腐蚀示意图9.2.2二值膨胀•腐蚀运算的对偶运算，通过对补集的腐蚀来定义。•以AC表示集合A的补集，表示B关于坐标原点的反射。•集合A被集合B膨胀表示为：B图9.3膨胀示意图腐蚀和膨胀操作的直观解释•腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。•腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像的作用。9.2.3二值开运算•两种二次运算起着非常重要的作用–开运算–闭运算（开运算的对偶运算）。•从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。开运算的定义•假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其定义为：或可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。当结构元素B扫过整个图像集合内部，A○B就是使结构元素B的任何像素不越出图像A边界的图像A像素点的集合。图9.4利用圆盘作开运算•BBABAABABAOB9.2.4二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。或开、闭运算也互为对偶运算开运算具有磨光图像外边界的作用闭运算具有磨光图像内边界的作用图9.5利用圆盘作闭运算9.3灰值形态学•在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的–输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。9.3.1灰值腐蚀•形态学源于填充的概念–灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性，结构元素也是一个信号。•二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用–在灰值形态学中这两种运算对应与极大和极小运算。•可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。•用结构元素g对输入图像f(x,y)进行灰值腐蚀记为用一维函数对其进行简化，定义为由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有定义。结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与结构元素从内部对二值图像滤波的情况是相似的。图9.6灰值腐蚀运算01234567123yx123y0123£­1£­2xb(a)(b)Ofs(c)Ofs(d)s¡äs¡åfb)()(xsbsf£­£«)()(xsbsf£­£«9.3.2灰值膨胀•灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。•采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推结构所能达到的最大值。•利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的最小值来定义。用结构元素g对输入图像f(x,y)进行灰值膨胀•(f⊕g)(s,t)=max{f(s-x,t-y)+g(x,y)|s-x,t-y∈Df,x+y∈Dg}用一维函数对其进行简化，定义为(f⊕g)(s)=max{f(s-x)+g(x)|s-x∈Df,x∈Dg}步骤：对结构元素g的定义域Dg中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。图9.7灰值膨胀运算•(a)灰值膨胀过程(b)灰值膨胀结果Ofs(a)Os(b)s′s″)()(xsbsf)()(xsbsf－＋－＋)(sf)(sfbff9.3.3灰值开运算•灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。–先作腐蚀再作膨胀的迭代运算：•这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来说明。图9.8灰值开运算9.3.4灰值闭运算•根据对偶性定义，灰值闭运算定义为：•f●g=(f⊕g)g(9.14)•灰值闭运算具有扩展性–滤波结果总位于原始图像的上方。它从图像的上方磨光图像灰值表面向下突出的尖峰（即波谷）。图9.9灰值闭运算图9.10细胞组织图像的灰值形态运算9.3.5灰值形态学梯度•利用扁平结构元素g对f作腐蚀和膨胀可得到f的局部极大和极小值，与数字差分定义的梯度相应。•形态学梯度的定义为：为了更好地获得边缘检测的效果，可以将形态学梯度与阈值结合起来使用。图9.11核磁共振图像的形态学梯度9.3.6高帽变换和低帽变换•通过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的标记点。–在较亮的背景中求暗的像素点或在较暗的背景中求亮的像素点；检测受到噪声污染图像中的边缘等。•为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以作阈值处理。高帽变换•从一幅原始图像f中减去对其作开运算后得到图像WHT(f)，其定义为：•WHT(f)=f—(f○g)(9.16)•其中，g为结构元素。•高帽变换是一种波峰检测器–它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。低帽变换•与高帽变换相对偶的算子，定义为：•BHT(f)=(f●g)—f(9.17)•低帽变换是一种波谷检测器–适合于在较亮的背景中求暗的像素点。图9.12利用Top-Hat和Bot-hat变换检测图像峰值和谷值9.3.7开－闭运算和闭－开运算•形态开、闭运算作为最基本的形态滤波运算。•在实际的图像处理中，仅仅采用形态开和闭的滤波效果往往不能令人满意。•在基本的形态开、闭运算的基础上设计出形态开－闭和形态闭－开组合滤波器，发挥其更好的滤波性能。开－闭运算和闭－开运算互为对偶操作•形态开闭－运算能够滤除图像中形状小于结构元素的亮噪声。•形态闭－开运算可以滤除图像中形状小于结构元素的暗噪声。•开－闭运算：–f□g=f○g●g(9.18)•闭－开运算：–f■g=f●g○g(9.19)