5-8 正弦定理、余弦定理的应用举例

课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）考纲要求考情分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算.2012年陕西卷17、2011年上海卷6都考查了距离问题．预测：以实际问题为背景构建三角形解决问题是一个可能的发展方向.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(对应学生用书P94)1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图①)．上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．正北课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(对应学生用书P95)有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【思路启迪】在△ABD中，可考虑正弦定理，在△BCD中，可考虑用余弦定理求CD.【解】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．最后，回归实际问题并检验结果．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）2012年8月的飓风给人们的生产生活带来极大的影响，为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又C在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C、D两岛间的距离．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）解：由已知得A、B、C、D四岛的位置如图所示，设A、C两岛相距x海里．∵C在A的东偏北30°方向，∴∠BAC＝60°，在△ABC中，由余弦定理得，212＝152＋x2－2×15xcos60°，化简得x2－15x－216＝0，解得x＝24或x＝－9(舍去)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）又∵C在D的东北方向，∴∠ADC＝135°，在△ADC中，由正弦定理得CDsin30°＝ACsin135°，∴CD＝AC·sin30°sin135°＝24×1222＝122.∴C、D两岛间的距离为122海里.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过角三角形加以解决．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的弹射型气象仪器，这种弹射型仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，假设这种仪器在C地进行弹射实验，在A，B两地进行观察弹射效果．已知A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚217秒．在A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，在弹射最高点H处的仰角为30°.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器弹射的高度HC(已知声音的传播速度为340米/秒)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【解】(1)设BC＝x，由条件可知AC＝x＋217×340＝x＋40，在△ABC中，由余弦定理，可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcosBAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×12，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)，故A，C两地的距离为420米．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(2)在△ACH中，得∠HAC＝15°＋30°＝45°，∠AHC＝90°－30°＝60°，由正弦定理，可得ACsin∠AHC＝HCsin∠HAC，即420sin60°＝HCsin45°，故HC＝1406(米)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）解析：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠DBC＝180°－(45°＋105°)＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝10sin30°·sin45°＝102.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝102×3＝106(m)．答案：106课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义．2．根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正弦定理或余弦定理解决．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(2012年郑州质检)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【解】法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.故当t＝13时，Smin＝103，此时v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－600t＋400t2.∵0v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）设小艇与轮船在C处相遇，在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝103，AC＝20sin30°＝10，又AC＝30t，OC＝vt，此时，轮船航行时间t＝1030＝13，v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝23.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）证明如下：如图，由(1)得OC＝103，AC＝10，故OCAC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）设∠COD＝θ(0°θ90°)，则在Rt△COD中，CD＝103tanθ，OD＝103cosθ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝10＋103tanθ30和t＝103vcosθ，所以10＋103tanθ30＝103vcosθ.由此可得，v＝153sinθ＋30°.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·