向量及其线性运算

数量关系—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第八章向量：既有大小又有方向的量.向量表示：以1M为起点，2M为终点的有向线段.1M2Ma21MM模长为1的向量.21MM00a零向量：模长为0的向量.0||a21MM||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或或自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.a向径：abaa空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量.OMM规定:零向量与任何向量平行;平行向量：若向量a与b方向相同或相反,a与b平行,a∥b;记作则称向量共线：当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上.因此，两向量平行又称两向量共线.时，如果个终点和公共起点在一个平面上.就称这个向量共面.向量共面：当把个向量的起点放在同一点(3)kkkkk二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.abbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aabababbs3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法ABAOOBOBOA三角不等式aAB一般地，任给向量及点O设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a213、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）分配律：aaa)(baba)(例1.设M为MBACD解:ABCD对角线的交点,baACMA2BDMB2baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD.,,,MDMCMBMAba表示与试用同方向的单位向量，表示与非零向量设aa0按照向量与数的乘积的规定，0||aaa.||0aaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.0.，，ababa定理设向量那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数使两个向量的平行关系证充分性显然；必要性a‖b设,ab取取正值，同向时与当ab取负值，反向时与当ab.ab即有.同向与此时abaa且aab.b.的唯一性，设ab，又设ab两式相减，得，0)(a，即0a，0a，故0.即ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,o•坐标面•卦限(八个)面xoy面yoz1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),,(zyx此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.OCOBOAxyzoABCNQRrMONMONOMxyzo向径在直角坐标系下11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rrM坐标轴:坐标面:xyzo四、利用坐标作向量的线性运算设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb则ba),,(zzyyxxbababaa),,(zyxaaa0,a当时xxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:为，实数例2.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示ABMo11MAB及实数,1得11),,(212121zzyyxx即AMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(说明:由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得,221xx,221yy221zzABMoMAB11),,(212121zzyyxx中点公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式222zyx),,,(zyxr设则有OMrxoyzMNQRP由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与OMrOROQOP,rOM作例3.在z轴上求与两点等距解:设该点为,),0,0(zM,MAMB因为2)4(212)7(z23252)2(z解得故所求点为及.),0,0(914M思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为,)0,,(yxM利用,BMAM得(2)设动点为,),,(zyxM利用,BMAM得且例4.已知两点和解:求141)2,1,3(142,141,143BABABA例5求平行于向量kjia676的单位向量的分解式.解所求向量有两个，一个与同向，一个反向a222)6(76||a,11||aa0a,116117116kji或0a||aa.116117116kjioyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量ba,的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴r方向角的余弦称为其方向余弦.记作特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.的夹角,,为其方向角.oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz方向余弦的性质:(,,)rxyz例6.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos22cos,32,343(21MM例7.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为,,43求点A的坐标.,,43则222coscos1cos41因点A在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点A的坐标为.)3,23,3(向径OA与x轴y轴的夹,6AO且OAOAAO例设有向量21PP，已知221PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3和4，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P的坐标.解设向量21PP的方向角为、、,3,4,1coscoscos222.21cos,21cos,22cos.32,3设2P的坐标为),,(zyx,1cosx21PP21x21,2x0cosy21PP20y22,2y3cosz21PP23z,2,4zz2P的坐标为).2,2,2(),4,2,2(21MP过点M作x轴的垂直平面，交点P即为点M在轴x上的投影.x3.向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影xoyzxrOPxicosxruOMM空间向量在轴上的投影u过点M作u轴的垂直平面，交点M即为点M在轴u上的投影.rOM称为向量在轴u上的分向量.e,OMe设数称为向量在轴上的投影，记作u或Prujr()urPr,xxajaPr,zzajaPr,yyajakajaiaazyx设则或记作(),(),()xxyyzzaaaaaa向量投影的性质性质1()cosuaa其中为向量与轴的夹角au性质2()()()uuuabab性质3()()uuaa例8一向量的终点在点，它在轴、)7,1,2(Bxy轴、轴上的投影依次为.求这向量的z4,4,7起点的坐标.A解设的坐标为A(2,1,7)ABxyz由已知可得24,14,77xyz所以2,3,0.xyz(2,3,0)A即解2Prcos(,)32bjaaba例9已知，它与的夹角为，求.(2,1,2)ab4Prbja例10设kjim853，kjin742，kjip45，求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kji,15713kji在x轴上的投影为13xa,在y轴上的分向量为j7.向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.（注意分向量与向量的坐标的区别）向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量在轴上的投影与投影定理.思考题1已知平行四边形ABCD的对角线AC,aBDb试用表示平行四边形四边上对应的向量.ba,解答BCADAMMD).(21baDCABAMMB).(21baABCDMab思考题2设jim，kjn2，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度.解答对角线的长为|,||,|nmnm},1,1,1{nm}1,3,1{nm,3||nm,11||nm平行四边形的对角线的长度各为11,3.mn一、填空：1、向量是_________的量；2、向量的___________叫做向量的模；3、___________的向量叫做单位向量；4、_____________的向量叫做零向量；5、与_____无关的向量称为自由向量；6、平行于同一直线的一组向量叫做_________，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做____________；7、两向量___________，我们称这两个向量相等；8、两个模相等、____________的向量互为逆向量；9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成____________；练习题110、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成____________________；11、要使baba成立，向量ba,应满足________________________；12、要使baba成立，向量ba,应满足__________________.二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.三、把ABC的BC边五等分，设分点依次为4321,,,DDDD，再把各分点与点A连接，试以aBCcAB,表示向量ADADADAD4321,,和.练习题1答案一、1、既有大小,又有方向；2、大小；3、模等于1；4、模等于零；5、起点；6、共线向量,共面向量；7、模相等且方向相同；8、方向相反；9、半径为1的球面；10、距离等于2的两点；11、a垂直于b；12、a与b同向.三、)51