数列相关概念与方法总结

第1页共6页数列相关概念与方法总结一、等差数列与等比数列的相关概念、性质概念、性质等差数列等比数列1.递推关系（定义）为常数）（ddaann1）为常数，且（01qqqaann2.通项公式dnaan)1(111nnqaa3.通项公式推广dmnaamn)(mnmnqaa4.中项bAa,,构成等差数列，则A为ba,的等差中项，即2baAbGa,,构成等比数列，则G为ba,的等比中项，即abG2，则abG5.性质1若),,,(*Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa.若),,,(*Nllnmlknm，则lknmaaaa.6.性质223121nnnaaaaaa23121nnnaaaaaa7.性质3若nnba,均为等差数列，则nnba、na为等差数列若nnba,均为等比数列，则nnba、nnba、na为等比数列8.性质4序号成等差数列的项仍构成等差数列序号成等差数列的项仍构成等比数列9.性质5已知nS为等差数列na的前n项和，则kkkkkSSSSS232,,构成等差数列.即)()(2232kkkkkSSSSS.已知nS为等比数列na的前n项和，则kkkkkSSSSS232,,构成等比数列.即)()(2322kkkkkSSSSS.10.求和公式2)1(2)(11dnnnaaanSnnndand)2(212当1q时，1naSn.当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11第2页共6页二、数列通项的求法（一）若已知数列为等差数列或等比数列，则直接利用等差数列或等比数列公式求解。（二）常用递推关系求通项1.累加法：形如)(1nfaann（注意：如果)(nf是常数，就直接用等差数列通项公式了，不用累加）例：.),11ln(,211nnnanaaa求2.累乘法：形如)(1nfaann（注意：如果)(nf是常数，就直接用等比数列通项公式了，不用累乘）例：.,2,211nnnnaaaa求3.构造法：（1）形如)1,,(*1pqpNnqpaann为常数，且解题思路：构造公比为p的等比数列na。设)(1nnapa，则)1(1ppaann，利用待定系数法，得.1,)1(pqqp即则数列1pqan是首项为11pqa，公比为p的等比数列，再求通项。例：.,32,111nnnaaaa求（2）形如))(,1,)((*1为任意函数为常数，且nfppNnnfpaann解题通法：11111)()(nnnnnnnpnfppapanfpaa，得由，即111)(nnnnnpnfpapa，则111)(nnnnnpnfpapa，从而转化成前面用“累加法”所求解的模型。特殊地，当)(nf为一次函数模型或指数函数模型时，还有其他解法如下：第3页共6页①形如),,(*1为常数dkNndknpaann（)(nf为一次函数模型）解题思路：构造公比为p的等比数列BAnan。设)()1(1BAnapBnAann，则ABpAnppaann)1()1(1，利用待定系数法，得dABpkAp)1()1(，解出A、B，则数列BAnan是首项为BAa1，公比为p的等比数列，再求通项。例：.,32,111nnnanaaa求②形如)1,,(*1pqpNnqpaannn为常数，且（)(nf为指数函数模型）（i）若qp，则只能用通法求解。解题思路：11111nnnnnnnnnpqppapaqpaa，得由，即ppapannnn111，则ppapannnn111，从而转化为等差数列nnpa求na.（ii）若qp，则可以用通法或构造等比数列方法，但利用构造等比数列nnAqa的方法求解更方便。解题思路：设)(11nnnnAqapAqa，得nnnqqpApaa)(1，利用待定系数法，得1)(qpA，解得qpA1.则数列nnAqa是首项为Aqa1，公比为p的等比数列，再求通项。4.倒数法：形如1(,,)nnnpaapqdqad为常数（i）若pd，则1,nnnnnpapaaqadqap111,nnnnqapqapapa所以111,nnqaap所以从而可第4页共6页转化为等差数列：1na是以11a为首项，qp为公差的等差数列。（ii）若pd，则111,nnnnqadqdapappa所以即111nndqapap，此时转化成形如1()nnapafn的结构，再用构造法求解.例：已知数列{an}中a1＝1且an＋1＝anan＋1，求数列的通项公式．例：已知数列{an}中a1＝1且an＋1＝anan＋1，求数列的通项公式．5.利用na与nS的关系：121nnnSaaaa，1121nnSaaa12nnnnaSS当时，；111naS当时，.11,1,2nnnSnaSSn题型一：已知nS，直接利用以上关系求na.例：已知na的前n项和为32nnS，求.na题型二：已知nS与na的关系，将nS转成na.例：已知na的前n项和为2nnnSa，求.na第5页共6页题型三：已知nS与na的关系，将na转成nS.例：已知na的前n项和为nS，且满足11120(2),..2nnnnaSSnaa求三、特殊数列求和法（一）分组求和法适用：数列中每一项可拆成几项，重新分组，转化为等差、等比或常数列的求和问题。例：若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________．（二）倒序相加法适用：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加。即：已知23121nnnaaaaaa121nnnSaaaa①121nnnSaaaa②①+②，得12112()()()nnnnSaaaaaa12111()()()()22nnnnnaaaaaanaaS（三）错位相减法适用：已知数列na，nnnabc（其中nb为等差数列，nc为等比数列），求na的前n项和.推广：错位相减法所得到的结论必定能化成()nnSAnBqB这种形式，由122()(2)SABqBSABqB可解出A、B，所以，做大题时，可用此结论检验结果正确性，做小题时，可直接利用此方法求.nS例：求数列n2n的前n项和．第6页共6页（四）裂项相消法常见裂项：（1）1111()()nnkknnk（2）1111()(21)(21)22121nnnn（3）1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn（4）11()nknknnk例求和：①Sn＝11×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）；②Sn＝11×3＋12×4＋…＋1n（n＋2）；③Sn＝11×3＋13×5＋…＋1（2n－1）·（2n＋1）.