参数方程 (共26张PPT)

[知识重温]一、必记4●个知识点1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①____________的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在②______________，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称③______.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做④__________.任意一点这条曲线上参数普通方程2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⑤__________________(t为参数)，则参数t的几何意义是⑥______________.3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为⑦__________________α∈[0,2π)．4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为⑧__________________________θ∈[0,2π)．x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα有向线段P0P的数量x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinαx＝acosθ，y＝bsinθ二、必明1●个易误点在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化前后的等价性．考向一直线与圆的极坐标方程的应用[互动讲练型][例1](1)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________；[解析]直线l：x＝t，y＝t－a消去参数t后得y＝x－a.椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ消去参数φ后得x29＋y24＝1.又椭圆C的右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.[答案]3(2)如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．[解析]将x2＋y2－x＝0配方，得x－122＋y2＝14，所以圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，所以圆x2＋y2－x＝0的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．[答案]x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)——[悟·技法]——参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．——[通·一类]——1．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为__________．解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝02．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.答案：3考向二参数方程的应用[互动讲练型][例2](2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22ty＝5＋22t(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，5)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．[解析](1)由x＝3－22ty＝5＋22t得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0.又由ρ＝25sinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.——[悟·技法]——(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数方程为t1，t2.①弦长l＝|t1－t2|；②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.——[通·一类]——3．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．解析：椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝1，得1＋12t2＋32t24＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－167.所以AB＝|t1－t2|＝167.考向三极坐标方程与参数方程的综合问题[互动讲练型][例3](2016·课标全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[解析](1)C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2，当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.——[悟·技法]——涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．——[通·一类]——4．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数)与曲线C：x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝π3，求线段AB的中点M的坐标；(2)若|PQ|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l的斜率．解析：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是x24＋y2＝1.当α＝π3时，设点M对应的参数为t0.直线l的方程为x＝2＋12t，y＝3＋32t(t为参数)，代入曲线C的普通方程x24＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.则t0＝t1＋t22＝－2813，所以点M的坐标为1213，－313.(2)将x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα代入曲线C的普通方程x24＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(83sinα＋4cosα)t＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝12cos2α＋4sin2α，|OP|2＝7，所以12cos2α＋4sin2α＝7，得tan2α＝516.由于Δ＝32cosα(23sinα－cosα)0，故tanα＝54.所以直线l的斜率为54.