参数方程

参数方程参数方程化成普通方程直线参数方程的标准形式1、参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(),().xftygt（1）并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。例1参数方程3cos3sinxy02，3cos3sinxy0,与曲线？为什么？是否表示同一例23sin3cosxy02，参数方程3cos3sinxy02，与曲线？为什么？是否表示同一说明如果消去参数后得到的普通方程形式相同，而且方程中x，y的取值范围也相同，那么两个参数方程表示的是同一曲线。②21sin①,cos200gttvytvx例3将下列参数方程化为普通方程解：由①得：cos0vxt代入②，消去参数t，得普通方程xxvgycossincos22220参数方程表示的.sin,cos122yx曲线是_______.解：曲线的普通方程是x–y=0其中变量x的取值范围是[0，1].方程表示的曲线是线段.例4例5222111txt(t)tyt将参数方程为参数，化为普通方程22222214122111411xsinttan,xyycostyytxy(y)解：令则又从条件，得所求普通方程为例6方程（1）当θ是参数，t是常数()，方程表示什么曲线？（2）当t是参数，θ是常数()，方程表示什么曲线？101x(t)sin,tty(t)cos.t（）01t,t2k,kZ（1）再将两方程的两边平方后相加，得1)1()1(2222ttyttx（椭圆）.cos1,sin1ttyttxθθ（2）当t是参数，（k是整数）2k1cos4sin42222yx消去t，得（双曲线）ttyttx1cos,1sin说明参数方程的本质是将曲线上任意一点的坐标x,y都表示成某个参数的函数，而定义域是函数的要素之一，定义域对函数的值域有重要的制约作用。因此，要重视参数方程中对参数的限制条件，或者说，参数的取值范围也是参数方程的组成部分。例7将直线的点斜式方程y-y0=tgα(x-x0)化为参数方程解:将直线的点斜式方程变形为cossin00xxyy=t是参数）ttyytxx(.sin,cos00即我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时，t0；当点M在点M0的下方时，t0；当点M与点M0重合时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同。过定点),(000yxM、倾斜角为的直线l的参数方程为sincos00tyytxx，(t为参数)2、直线参数方程的标准形式：一、参数t的有关性质对于上述直线l的参数方程，设l上两点A、B所对应的参数分别为tA、tB，则1．A、B两点之间的距离为||||BAttAB，特别地，A、B两点到点M0的距离分别为|tA|、|tB|。2．A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt，若点M0是线段AB的中点，则tA+tB=0，反之亦然。说明：非标准形式btyyatxx00(t为参数)一般说来，t不具有上述几何意义0a时表示过定点（x0，y0），斜率为ab的直线的参数方程练习1直线0020cos120sin2tytx(t为参数),经过定点，倾斜角为2直线tytx231213(t为参数)方程中，t的几何意义是（）（A）一条有向线段的长度（B）定点P0（3，1）到直线上动点P(x，y)的有向线段的数量（C）动点P(x，y)到定点P0（3，1）的线段的长（D）直线上动点P(x，y)到定点P0（3，1）的有向线段的数量(2,-1)110°B3已知直线tytx3443(t为参数),下列命题中错误．．的是（）(A)直线过点（7，1）(B)直线的倾斜角为arctg43(C)直线不过第二象限(D)|t|是定点M0（3，4）到该直线上对应点M的距离D例8已知直线L过点M0（4，0），倾斜角为6(1)求直线L的参数方程(2)若L上一点M满足M0M=2，求点M的坐标(3)若L与直线y=x+34交与点M，求M0M解（1）直线L的参数方程是tytx21234（t为参数）（2）∵M0M=2∴t=2t=2t=2时134yxM（34，1）t=2时134yxM（34，1）∴M（34，1）或M（34，1）例8已知直线L过点M0（4，0），倾斜角为6(3)若L与直线y=x+34交与点M，求M0M（3）解一由34)4(33xyxy得交点M（4(3+1),4）82)04(2)4434(|0|MM解二将(1)代入y=x+43得:8||||8434)2321(34234210tMMtttt例9020000013122411||45xtP(,)l:(t)ytyxA,BPAPBPAPBABABCPC2已知过点的直线为参数与双曲线（-2）相交于两点，求（）||||(2)||+||(3)()弦中点与间距离（）的坐标直线参数方程的应用（标准形式）1）求一端点是M0(x0,y0)的线段长3）求一端点是M0(x0,y0)的两线段长的和与积2)求弦长练习1.直线tytx223222(t为参数)上到点M(2,3)距离为2且在点M下方的点的坐标是____________2.直线tytx32(t为参数)被双曲线x2y2=1截得的弦长为()(A)10(B)102(C)210(D)3103.过点P（5，3），且倾斜角满足cos=53的直线与圆x2+y2=25交于P1,P2两点,则|PP1||PP2|=_______________,弦P1P2中点M的坐标是________________(3,4)B9)2533,2544(4.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长度分别是m和n的两部分,则m与n的关系是()(A)m+n=4(B)mn=4(C)m+n=mn(D)m+n=2mn5.从抛物线y2=2px(p0)外一点A(2,4)引倾斜角为45°的割线与抛物线交于点M1,M2,若|AM1|、|M1M2|、|AM2|成等比数列,求抛物线方程。6.过点P（1，2）作直线L交椭圆x2+2y2=8于M,N两点，且|PA||PB|=32，求此直线的倾斜角。