参数方程与普通方程的互化 (1)

4.4.2参数方程和普通方程的互化回顾－参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。【关于参数几点说明】参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围cos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。创设情境参数方程普通方程消去参数题型一参数方程与普通方程的互化例1化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．(1)x＝1－2t，y＝3－4t(t是参数)；(2)x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθ·cosθ(t是参数)；(3)x＝t1＋2t2，y＝1－2t21＋2t2(t是参数)．总结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数；2.三角法：利用三角恒等式消去参数；3.整体消元法：根据参数方程本身结构特征,从整体上消去；化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。知识点分析)()1,1()1(32,1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttx例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数yxo(1,1)步骤：先消掉参数，再写出定义域。代入(消参数)法这是抛物线的一部分。普通方程为所以与参数方程等价的所以又得到平方后减去把].2,2[,],2,2[),4sin(2cossin,2sin1cossin)2(22xyxxxyxyx例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？sincos().1sin2yx=(2)为参数xoy22恒等式(消参数)法说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:(1)代入(消参数)法(2)加减(消参数)法(3)借用代数或三角恒等式(消参数)法常见的代数恒等式:22222222222222222211(1)()()42(2)()()12(3)()()1tttttaattatataattata在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、1、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练习:0,1)为端点的线段D、以(2,0)和(1,y1)C、圆(x点的射线B、以(2,0)为端0,22yA、直线x轨迹是y)的则点(x,(θ为参数),θsinycos2θ1x2、若曲线{222（）D3、将下列参数方程化为普通方程：3sinθy3cosθ2x(1)cos2θysinθx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）1()2(2)()1()2axtttabbytt为参数，、为常数（4）思考题1将下列参数方程化成普通方程．(1)x＝t＋1t－1，y＝2tt3－1；(2)x＝2t2－t－3，y＝t2－t－1；(3)x＝pt2＋pt2，y＝pt－pt.思考题2方程x＝2t－2－t，y＝2t＋2－t(t为参数)表示的曲线是()A．圆B．双曲线C．双曲线的上支D．双曲线的下支【解析】x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4，又∵2t0，2t＋2－t≥2，即y≥2，∴与参数方程等价的普通方程为y2－x2＝4(y≥2)．显然它表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线的上支．【答案】C如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么)()({tgytfx这就是曲线的参数方程。二、普通方程参数方程例2(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。)(sin2cos3{149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx例2(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。还有其它方法吗？例2(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32为参数法二：2.tt(2)设y=，为参数tytxttytxyxtxtxtxty213{)(213{14913),1(9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2.tt(2)设y=，为参数分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。2254,_________xyxy、若则的最大值是222cos4{(2sin)xxyy解：的参数方程为为参数2cos2sin22cos()422xy最大值为题型二参数方程的综合应用例3(高考真题·福建卷)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα.(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，π2)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解析】(1)把极坐标系下的点P(4，π2)化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cos（α＋π6）＋42＝2cos(α＋π6)＋22.由此得，当cos(x＋π6)＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.思考题3(2017·沧州七校联考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，233，π2，圆C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．【解析】(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，0，233.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为1，33，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝33x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，0，233，所以直线l的平面直角坐标方程为3x＋3y－23＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|23－33－23|3＋9＝32r，故直线l与圆C相交.的最大值为则意一点上任为参数是曲线、22)4()5(,)(sincos2{),(4yxyxyxPA、36B、6C、26D、25（）A2425{()242222cos{()222sinxtltCytxlCyABCD、已知直线为参数和圆为参数，则直线与圆的位置关系是、相交但不过圆心，、相交且过圆心、相离，、相切()D2216{()224199xttytxyABAB、设直线的参数方程为为参数它与椭圆的交点为和，求线段的长度。2108744414)(187,207168)2()1()2.........(..........094)1...(..........42,0422122122121222xxxxkdxxxxxxyxxyyx由弦长公式得得代入将椭圆化为得到化为普通方程得解：将直线的参数方程例2已知参数方程x＝（t＋1t）sinθ，①（t≠0）y＝（t－1t）cosθ②(1)若t为常数且t≠±1，θ为参数，方程表示什么曲线？(2)若θ为常数且θ≠kπ2(k∈Z)，t为参数，方程所表示的曲线是什么？