数列专题、数列综合题-综合题型-交叉题型

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1数列专题、数列综合题型1.数列综合题型有:(1)数列极限;(2)数列与不等式;(3)数列与函数;(4)数列与方程;(5)数列与向量;(6)数列与解析几何;(7)数列与概率;(8)数列与实际应用问题等;(9)数列创新题等。一、数列极限例题.(天津高考)已知𝑢𝑛=a𝑛+a𝑛−1𝑏+a𝑛−2𝑏2+∙∙∙+a𝑏𝑛−1+𝑏𝑛(𝑎0,𝑏0,𝑛∈𝑁∗),则1limnnnuu=____________变式训练:1.(2006奉贤区一模)在无穷等比数列{𝑎𝑛}中,𝑎1=1,𝑞=12,记𝑇𝑛=a22+a42+a62+∙∙∙+a2𝑛2,则𝑇𝑛=_____________2.数列{na}通项nnxxa)3(2,若2limnna,则𝑥的取值范围是_________3.数列}{na中,若11a,nnnaa211(*Nn),则(a1+a2+∙∙∙+a2𝑛−1+a2𝑛)=_____________4.等差数列,nnab的前n项和分别为,nnST,若231nnSnTn,则limnnnab_________5.21lim31nnanbn,则ab___________6.(2014虹口一模)在nnnCBA中,记角nA、nB、nC所对的边分别为na、nb、nc,且这三角形的三边长是公差为1的等差数列,若最小边1nan,则nnClim_________7.设zn=()n,(n∈N*),记Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+…+|zn+1-zn|,则Sn=_________21ilimn28.作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________9.已知等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎2=2,𝑎3=1,则(𝑎1𝑎2+𝑎2𝑎3+⋯+𝑎𝑛𝑎𝑛+1)=______10.已知(2𝑛2𝑛+2−𝑛𝑎)=𝑏,则𝑎+𝑏=________在此处键入公式。二、数列与不等式例题.设正整数数列{𝑎𝑛}满足:𝑎2=4,且对于任何𝑛∈𝑁∗,有2+1𝑎𝑛+11𝑎𝑛+1𝑎𝑛+11𝑛−1𝑛+12+1𝑎𝑛;(1)求𝑎1,𝑎3;(2)求数列{𝑎𝑛}的通项𝑎𝑛.变式训练:1.已知{𝑎𝑛}是等差数列,{𝑏𝑛}是等比数列,且𝑎3=𝑏3=𝑎,𝑎6=𝑏6=𝑏,若𝑎𝑏,则下列正确的是()A.若𝑎𝑏0,则𝑎4𝑏4B.若𝑎4𝑏4,则𝑎𝑏0C.若𝑎𝑏0,则(𝑎4−𝑏4)(𝑎5−𝑏5)0D.若(𝑎4−𝑏4)(𝑎5−𝑏5)0,则𝑎𝑏02.三个数,,abc成等比数列,若有1abc成立,则b的取值范围是___________3.在等比数列{𝑎𝑛}中,0𝑎1𝑎4=1,则能使不等式(𝑎1−1𝑎1)+(𝑎2−1𝑎2)+⋯+(𝑎𝑛−1𝑎𝑛)0成立的最大正整数𝑛是()A.5B.6C.7D.84.已知数列{𝑎𝑛}是等差数列,数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2(𝑛∈𝑁∗),设𝑛为{𝑏𝑛}的前𝑛项和.若𝑎12=3𝑎50,则当𝑛取得最大值时𝑛的值为()A.15B.16C.17D.1835.已知数列{𝑥𝑛}的前n项和为nS满足nnnxSS111,*1,21NnS.(1)猜想数列{𝑥2𝑛}的单调性,并证明你的结论;(2)对于数列{𝑢𝑛}若存在常数M>0,对任意的,恒有,则称数列{𝑢𝑛}为有界数列。问数列{𝑥𝑛}是有界数列吗?并证明你的结论。三、数列与函数例题.数列{𝑎𝑛}的通项公式是𝑎𝑛=(𝑛+2)∙(910)𝑛,那么在此数列中()A.a7=a8最大B.a8=a9最大C.有唯一项a8最大D.有唯一项a7最大变式训练:1.设数列na是首项为0的递增数列,*11sin,,,nnnnfxxaxaanNn,满足:对于任意的0,1,nbfxb总有两个不同的根,则na的通项公式为_________2.已知函数(𝑥)对一切实数𝑎、𝑏满足(𝑎+𝑏)=(𝑎)(𝑏),且(1)=2,若𝑎𝑛=(𝑛)2+(2𝑛)(2𝑛−1),则数列{𝑎𝑛}的前2018项和为_______________3.已知定义在上的奇函数(𝑥)满足(32−𝑥)=(𝑥),(−2)=−,数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑛,且,𝑛=2𝑎𝑛+𝑛,则(𝑎5)+(𝑎6)=____________四、数列与方程1.已知1234aaaa、、、构成各项均为正数的等比数列,且公比1q,若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列,则q_____________nN1121...nnnnuuuuuuMnu4变式训练:1.设:(12),22,2成等比数列;:𝑥,(𝑥+1),(𝑥+)成等差数列,则条件是条件成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知函数(𝑥)=𝑥(𝑥∈(02))有两个不同的零点𝑥1、𝑥2,且方程(𝑥)=有两个不同的实根𝑥3𝑥4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数的值为____________五、数列与向量例题.已知数列{𝑎𝑛}为等差数列,满足⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎3⃗⃗⃗⃗⃗+𝑎2013⃗⃗⃗⃗⃗,其中A、B、C三点在一条直线上,O为直线AB外一点,记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑛,则2015的值为_______变式训练:1.已知对任意𝑛∈𝑁∗,向量𝑑𝑛⃗⃗⃗⃗=(𝑎𝑛+1−14𝑎𝑛 , 𝑎𝑛+12𝑎𝑛)都是直线𝑦=𝑥的方向向量,设数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑛,若𝑎1=1,则𝑛=______六、数列与解析几何例题.在圆𝑥2+𝑦2=10𝑥内,过点(5,)有n条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1,最长弦长为𝑎𝑛,若公差𝑑∈(13,23,那么n的取值集合为()A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}C.{,4,5}D.{,4,5,6}变式训练:1.已知数列{𝑎𝑛}与圆1:𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑛𝑥+2𝑎𝑛+1𝑦−1=0和圆2:𝑥2+𝑦2+2𝑥+2𝑦−2=0,若圆1与圆2交于、两点且这两点平分圆2的周长。(1)求证:数列{𝑎𝑛}是等差数列;(2)若𝑎1=−,则当圆1的半径最小时,求出圆1的方程。52.如图,1(𝑥1,𝑦1),2(𝑥2,𝑦2),…,𝑛(𝑥𝑛,𝑦𝑛)(0𝑦1𝑦2⋯𝑦𝑛)是曲线𝑦2=𝑥(𝑦0)上的𝑛个点,点(𝑎,0)(=1,2,,⋯,𝑛)在𝑥轴的正半轴上,−1是正三角形(是坐标原点)(1)写出𝑎1,𝑎2,𝑎3;(2)求出点𝑛(𝑎𝑛,0)(𝑛∈𝑁∗)的横坐标𝑎𝑛关于𝑛的表达式;(3)设𝑏𝑛=1𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+2+⋯+1𝑎2𝑛,若对任意的正整数𝑛,当∈−1,1时,不等式2−2+16𝑏𝑛恒成立,求实数的取值范围。七、数列与概率例题.甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数,由原掷子的人继续掷;若掷出的点数不是3的倍时,由对方接着掷。如果第一次由甲开始掷。(1)若第n次由甲抛掷的概率为Pn,求Pn;(2)求前4次抛掷中,甲恰好掷3次的概率。八、数列与实际应用问题例题.(2005上海)假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。(1)到哪一年底,该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)到哪一年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例题首次大于85%?6变式训练:1.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何”,翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇,这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1000尺,则需要(C)天时间才能打穿。(结果取整数)A.8B.9C.10D.112.(2004福建)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500(1+12𝑛)万元(n为正整数)。(1)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An、Bn的表达式;(2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?3.(2007安徽)某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利,这就是说,如果固定年利率为r(r0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,…,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;(2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列。源:学科网九、数列创新题例题.将自然数1,2,,4,∙∙∙排成数阵(如右图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,∙∙∙,则转第100个弯处的数是______7变式训练:1.将25个数排成五行五列:已知第一行成等差数列,而每一列都成等比数列,且五个公比全相等若𝑎24=4,𝑎41=−2,𝑎43=10,则𝑎11×𝑎55的值为______2.若数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1𝑛+5−𝑎𝑛2𝑛+3=1,且𝑎1=5,则数列{𝑎𝑛}的前100项中,能被5整除的项数为____________3.1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分,夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉一个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,将剩余的桃子吃掉一个后,也将桃子分成5等份;藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理,问:最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?4.(2010重庆)第29届奥林匹克运动会于2008年在北京举行,29和2008是两个喜庆的数字,若使200829nn与200829之间所有正整数的和不小于2008,则n的最小值为5.已知数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式分别为:𝑎𝑛=𝑛+6,𝑏𝑛=2𝑛+7,将集合{𝑥|𝑥=𝑎𝑛}⋃{𝑥|𝑥=𝑏𝑛}中的元素从小到大依次排列,构成数列𝑐1,𝑐2,𝑐3,∙∙∙,𝑐𝑛;将集合{𝑥|𝑥=𝑎𝑛}⋂{𝑥|𝑥=𝑏𝑛}中的元素从小到大依次排列,构成数列𝑑1,𝑑2,𝑑3,∙∙∙,𝑑𝑛.(1)求数列{𝑑𝑛}的通项公式ℎ

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