几种常见的二次曲面

五、二次曲面第四节一、曲面方程的概念四、旋转曲面二、柱面几种常见的二次曲面三、锥面一、曲面方程的概念空间的曲面可用一个三元方程0),,(zyxF表示，称该方程为曲面的一般方程。二次曲面方程的定义：222123456789100axayazaxyayzazxaxayaza三元二次方程621(0)iia表示的图形称为二次曲面.以下给出几例常用的二次曲面.故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹xyzoM0M表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2222000()()()xxyyzzR2222xyzR例2.研究方程解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.定义.平行定方向的动直线l沿定曲线C移动的产生的曲面叫做柱面,C叫做准线,l叫做母线.二、柱面C一般地,在三维空间平行于z轴;柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线(,)0Fxy方程表示xyz1l的坐标也满足方程在xoy面上，表示曲线C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面,所以为故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示柱面C在C上任取一点1(,,0),MxylM1M(,,)Mxyz点其上所有点的坐标都满足此方程,xozyxzy2l柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;准线xoz面上的曲线l3.母线准线yoz面上的曲线l2.母线(,)0Gyz方程表示表示方程0),(xzHxyz3l222Ryx圆柱面xozyxyzxyzo表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.12222byaxz轴的平面.0yx表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于xyzoo三、锥面一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称为顶点，固定曲线称为准线。22221xyabzc求以椭圆为准线，顶点在原点的锥面方程。zZyYxX设母线方程为),,(00cyx此母线与准线的交点为zcyyxx00则zycyzxcx00,2222()()1cxcyzzab(,,)Mxyz设为锥面上的任意一点，它一定是一条母线上的点.222222.xyzabc222xyz为圆注意：锥面方程。例3解定义.一条平面曲线四、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),,(zyxM当绕z轴旋转时,0),(11zyf,),,0(111CzyM若点给定yoz面上曲线C:),,0(111zyM1221,yyxzz则有22(,)0fxyz则有该点转到0),(zyfozyxC(,,)Mxyz思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．例4.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为2222()zaxyxyz两边平方L),,0(zyMxy例5.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转222221xyzac绕z轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z五、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)平面被称为一次曲面．222123456789100axayazaxyayzazxaxayaza即：用坐标面和平行于坐标面的一族平面与曲面相截，由截出的一族交线（即截痕）的形状，加以综合，从而了解曲面的全貌．我们仅研究标准二次曲面及其图形.研究方法___平面截割法（截痕法）：1222222czbyax1222222czbyax2222221xyzabc2222xyzpq2222xyzpq(p,q同号)222222xyzabc1.椭球面2222221xyzabc(1)范围：,,xaybzc(2)与坐标面的交线：椭圆22221,0xyabz22221,0yzbcx222210xzacyabcyxzo(,,)abc为正数2222221xyzabc与)(11czzz的交线为椭圆：1zz同样11()yyyb的截痕及也为椭圆.(3)截痕:2222222222111()()abccxyczcz(,,abc为正数)z1222222czbyax截痕法用z=z1截曲面用y=y1截曲面用x=x1截曲面abcyxzo椭球面(4)当a＝b时为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面.2.抛物面2222xyzpq(1)椭圆抛物面(p,q同号)用截痕法讨论：1）用坐标面与曲面相截)0(zxOy截得一点，即坐标原点)0,0,0(O设0,0qp原点也叫椭圆抛物面的顶点.图形位于xOy平面的上方，并关于yOz及zOx坐标面对称.xyzO11212122zzqzypzx当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.1zz与平面的交线为椭圆.1zz)0(1zxyzO2）用坐标面与曲面相截)0(yxOz022ypzx截得抛物线121222yyqyzpx它的轴平行于轴z顶点qyy2,,0211与平面的交线为抛物线.1yy（3）用坐标面，与曲面相截)0(xyOz1xx均可得抛物线.同理当时可类似讨论.0,0qp2222xyzpq(1)椭圆抛物面(p,q同号)zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：0,0qp0,0qp特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(2)双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq(p,q同号)与三个坐标面的交线2220xyzpqx2220xyzpqy2220xyzpqz220(3)0xypqz抛物线，其顶点均为原点，对称轴同叫做双抛物面的主抛物线.开口指z轴正向开口指z轴负向00xypqz一对直线22(4)0xzpy22(5)0yzqx设0,0qp2222xyzpq与平行于坐标面平面的交线与平面z=h(h≠0)的交线为双曲线.222xyzpqzh双曲线顶点分别在两主抛物线上!22122xyphqhzh0h为双曲线,其顶点为(2,0,)(4)phh0h为双曲线,其顶点为(0,2,)(5)qhh虚轴与x轴平行虚轴与y轴平行yzox(2)双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq(p,q0)用截痕法讨论：设0,0qp图形如下：xyzo(2)双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq(p,q0)与平面的交线为抛物线.1xx22112()2xyqzpxx抛物线yxoz3.双曲面(1)单叶双曲面11)yb1zz平面上的截痕为椭圆.时,截痕为22212221xzyacb(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）1yy222222(1,,)xyabczabc为正数1yy平面上的截痕情况:双曲线:xyoz虚轴平行于x轴）by1)2时,截痕为0czax)(bby或by1)3时,截痕为22212221xzyacb(实轴平行于z轴;1yy相交直线:双曲线:0xyozxyoz(2)双叶双曲面2222221(,,)xyzabcabc为正数1yy平面上的截痕为双曲线1xx平面上的截痕为11()zzzc平面上的截痕为椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222xyzabc单叶双曲面11双叶双曲面图形内容小结1.空间曲面三元方程0),,(zyxF•球面2202020)()()(Rzzyyxx•旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕z轴的旋转曲面:0),(22zyxf•柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.•椭圆锥面:222222xyzabc2.二次曲面三元二次方程(,)pq同号•椭球面•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面2222xyzpq•双曲面:单叶双曲面2222xyab1双叶双曲面2222xyab1•椭圆锥面:222222xyzabc5x229xy1yx斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形: