机构学与机器人学-5机器人运动学

第五章机器人运动学一、二、齐次变换形式：11010PPRPBBAABA4X1的列矢量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为：PPBA或PTPBABA100BAABABPRT描述B系相对于A系的方位，为B系相对于A系的平移矢量。RAB0BAP坐标原点的矢量，即零矢量表示为[0,0,0,1]T。矢量[0,0,0,0]T没有定义。具有形如[a,b,c,0]T的矢量表示无限远矢量，用来表示方向，即[1,0,0,0]T，[0,1,0,0]T，[0,0,1,0]T分别表示x，y，z轴的方向。例：已知点u=7i+3j+2k，对它进行绕z轴旋转90°的齐次变换为：127312371000010000010010v三、机器人运动学方程的表示同理，若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态，则有：1、可以把任何机器人的机械手看做是一系列由关节连接起来的连杆构成。机械手每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标间的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变换叫做A矩阵。一个A矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态，A2表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出：六连杆机械手有下列矩阵：T2=A1A2T3=A1A2A3T6=A1A2A3A4A5A62、机械手的运动方向六连杆机械手的T矩阵（T6）可由其16个元素的数值来确定，其中只有12个元素具有实际含义。机器人的运动方程，又称位姿方程，都是用位姿矩阵表示机器人的运动方程，即以各杆之间的关节变量为变量的方程式，这可分成两类问题求解。Si3、机械手运动方程的求解1）求解运动方程时，从T6开始求解关节位置。使T6的符号表达式的各元素等于其一般形式，并据此确定θ1，其他五个关节参数不可能从T6求的，因此可从其他T矩阵来求解它们。一旦求的θ1之后，可由A1-1左乘T6的一般形式，得：61611TTA式中左边为θ1和T6各元的函数，此式可用来求解其他各关节变量，如θ2。不断的用A的逆矩阵左乘，可得另外四个矩阵方程式：6561112131415646111213146361112136261112TTAAAAATTAAAATTAAATTAA求解运动学方程，即求的机械手各关节坐标，这对机械手的控制至关重要。根据T6知道机械手要移动到什么地方，知道各关节坐标，一边进一步确定如何移动。2）绕三轴转动的变换解令：),(),(),(xRotyRotzRotT),(),(),(xRotyRotzRotT),(),(),(1xRotyRotTzRot),(),(1000100001000000xRotyRotpaonpaonpaoncssczzzzyyyyxxxx其中，f11=cφx+sφy，f12=-sφx+cφy，f13=z,而x,y和z为f11,f12和f13的各相应分量，例如：f11(p)=cφpx+sφpyf12(a)=-sφax+cφay令f12(n)与右式对应元素相等，可得：四、100001111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiicdcscsssdscccsascT100000100010000100000100000100001000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT100000010000100000010000666665555554csscTcsscT,,,,10000565650066056565611060633161322131644363655464TTTTTTTTTTTTccssscssscccTTT6523)64654(-s23)65464(1c]6523)64654s1[c23o)65464(1]6523)64654c1[c23o6523)64654(-s23)]64654(1]6523)64654(23[1)64654(1]6523)64654(23[1yxsscsssccoscsccssscssccscsccsssscssccsscsscccnscccsccssssccccsnscccsscsssscccccnzzyxd4c23-a2s2-a3s23pd2c1d4s23]-a3c23s1[a2c2pd2s1-d4s23]-a3c23c1[a2c2p5235523541)5235423(1541)5235423(1zyxccscsassccssccsassccsscccazyx经验算：10003001421002010,0654,903,02,90160adadT（3-66）（3-67）（3-68）（3-70）（3-72）（3-74）（3-75）（3-80）（3-83）（3-84）在对机器人进行操作与控制时，常常涉及到机械手位置和姿态的微小变化。这些变化可由描述机械手位置的齐次变换矩阵的微小变化来表示。在数学上，这种微小变化可用微分变化来表达。机械手运动过程中的微分关系是很重要的。例如，当用摄像机来观察机械手的末端执行装置时，我们需要把对于一个坐标系的微分变化变换为对于另一坐标系的微分变化。比如说，把摄像机的坐标系建立在T6上。应用微分关系对于研究机械手的动力学问题，也是十分重要的。机器人的雅可比公式机器人的微分运动已知一个变换，其元素为某个变量的函数，那么对这个变量的微分变换就是这样的变换，其元素为原变换元素的导数。研究出一种方法，使得对坐标系{T}的微分变换等价于对基系的变换。既可以用给定的坐标系也可以用基坐标系来表示微分平移和旋转.（3-85）（3-86）（3-87）（3-88）（3-89）（3-90）（3-91）（3-92）（3-93）（3-94）（3-95）（3-96）（3-97）（3-98）（3-99）（3-100）（3-101）（3-102）设有两坐标系{A}和{B}，{B}相对于{A}而定义，微分运动变换图为：BAABBABBBBABBA115CAM5A6TTBBTACAMTCAMTABCAM116166TTBBTACAMTCAMTABCAM116166100050010010101001CAM因此：1000501000012100100081000001001010005001001010100T1000501000012100TnoapkjikjidTT01.00102.066微分坐标变换矩阵T可以从图中直接求出：即从已知的微分变化变换的箭头起，回溯到待求的等价微分变化止所经过的路径。（3-106）（3-107）（3-108）（3-109）（3-110）（3-111）（3-112）（3-113）（3-114）（3-115）（3-116）（3-117）（3-118）（3-119）（3-120）（3-121）（3-122）机器人雅可比矩阵计算实例下面举例说明计算具体机器人微分运动和雅可比矩阵的方法。先建立西博特奇（Cybotech）V-80机器人的雅可比矩阵，再计算PUMA560机器人的雅可比矩阵。1、V-80机器人的雅可比矩阵如图表示法国西博特奇公司生产的V-80工业机器人的外形略图及其停止位置。图（b）中，停止位置是这样选择的，使得悬臂与基系坐标x轴平行，而机械手的夹手垂直向上。V-80的连杆和关节参数表示于表，其6个关节的运动都是转动的。V-80机械手连杆与关节参数在建立V-80操作机器人的雅可比矩阵时，应用了如此图所示的变换图。2、PUMA560机器人的雅可比矩阵PUMA560的6个关节也都是转动的，其雅可比矩阵含有6列。根据式（3.121）可计算各列元素。现分别用两种方法计算。100000100010000100000100000100001000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT100000010000100000010000666665555554csscTcsscT100000010000100000010000666665555554csscTcsscT100000100010000100000100000100001000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT100000100010000100000100000100001000010000004443444333233322222221111110csdascTcsascTcsdscTcsscT6523)64654(-s23)65464(1c]6523)64654s1[c23o)65464(1]6523)64654c1[c23o6523)64654(-s23)]64654(1]6523)64654(23[1)64654(1]6523)64654(23[1yxsscsssccoscsccssscssccscsccsssscssccsscsscccnscccsccssssccccsnscccsscsssscccccnzzyxd4c23-a2s2-a3s23pd2c1d4s23]-a3c23s1[a2c2pd2s1-d4s23]-a3c23c1[a2c2p5235523541)5235423(1541)5235423(1zyxccscsassccssccsassccsscccazyx