泰勒公式说明

第六节一、泰勒公式二、泰勒级数幂级数在函数逼近中的应用机动目录上页下页返回结束第十章三、幂级数在近似计算中的应用本节内容:对于一些较为复杂的计算，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数.我们常用多项式来近似表达函数，称为用多项式来逼近函数。在微分应用中，我们已经知道，当变量的绝对值很小时，有如下的近似计算：显然，在x=0处，这些多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。第六节目录上页下页返回结束sin,1,ln(1)xxxexxx但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高，对于精度要求较高且需要估计误差的情形，往往须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。一、泰勒公式机动目录上页下页返回结束()fx定义1的某领域内有直至0x1n阶导数，则对此领域内任何一个，有()fx00000()()()()()1!2!fxfxfxxxxx()00()()()!nnnfxxxRxn称为泰勒公式，其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn叫做余项，之间。0xx容易验证当00()()()()fxfxfxx00x0n设函数在在与泰勒公式称为麦克劳林公式。时就是微分的拉格朗日中值定理。特别地，取时，泰勒公式机动目录上页下页返回结束例1.写出函数()xfxe解:因为(),xfxe(),xfxe()xfxe(),,(),nxfxe(2)(2),(),()(01)nxnxfxefxe当0x()0(0)(0)(0)(0)1nffffe迈克劳林展开式为21()2!!nxnxxexRxn(1)11()()(1)!(1)!nnnxnfxRxxenn其中，()nRx的麦克劳林展开式。时，得为余项其含义是将f(x)展开到(x-x0)的n次幂。Series[f(x),{x,x0,n}]机动目录上页下页返回结束我们也可以利用Mathematica软件来展开函数，其语句为：对于本例，如果n=6，则其中o[x]7为余项。其误差不超过万分之一。当n=6，x=12.71806e时，可以算出数二、泰勒级数机动目录上页下页返回结束(),fx(),fx(),(),nfx定义2设函数()fx0x()000()()!nnnfxxxn00000()()()()()1!2!fxfxfxxxxx()00()()!nnfxxxn为函数f(x)在f(x0)特别地，当取00x()0(0)!nnnfxn称为的麦克劳林级数。()fx…则称级数…的某领域内具有任意阶导在的泰勒级数。时，机动目录上页下页返回结束二是该级数是否收敛于函数()fx定理设收敛于的充要条件是泰勒公式的余项满足()fx0x()000()()!nnnfxxxn在此领域内，泰勒级数()fxlim()0nnRx同样地，麦克劳林级数()0(0)!nnnfxn()fx条件是泰勒公式的余项满足lim()0nnRx一是该级数在什么条件下收敛，泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广，带来了两个问题：。。的某领域内有任意阶导数，那么在的充要收敛于的机动目录上页下页返回结束例2.将()sinfxxx解:（1）先求出()()(1,2,)nfxn0x处的值()(0),nf''''''()1()sin,(0)0;()sin,(0)1;2()sin2,(0)0;20(0)sin2(1)nmfxxffxxffxxfnf，当n=2m时，当n=2m-1时的幂级数。展开成分别算出在（2）写出麦克劳林级数：机动目录上页下页返回结束()021351(0)!11(1)3!5!(21)!nnnmmfxnxxxxm因为对于（3）求级数的收敛半径R1()sin[(1)],(01)1!2nnxRxxnnxlim()0,nnRx所以级数的收敛区间为x。有，或收敛区间余项机动目录上页下页返回结束（2）2012!!!nnxnxxxexnn()x利用麦克劳林公式，不难得出几个常用的初等函数的幂级数展开式：35722101111sin(1)3!5!7!(21)!(1)(21)!nnnnnxxxxxxnxn()x（3）2111nxxxx0nnx(11)x（1）机动目录上页下页返回结束（5）23111111ln(1)(1)23(1)nnnnnxxxxxnxn(11)x2462201111cos1(1)2!4!6!(2)!(1)(2)!nnnnnxxxxxnxn()x（4）21(1)(1)(2)(1)(1)12!!(1)(2)(3)(1)1!annnaaaaaanxaxxxnaaaaanxn（6）(11)x三、幂级数在近似计算中的应用在经济和工程技术领域中，常常涉及近似计算问题，例如在债券理论中，为了研究收益率对价格的影响，往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算，并根据近似计算公式研究债券的性质，为复杂的债券投资组合提供依据。机动目录上页下页返回结束由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式：()00000000()()()()()()()()1!2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxn只要x()nRx来估计。适当小，可用级数前几项部分和来作近似计算，这种近似计算还是具有相当精确度的，而且所产生的误差可以由余项P(y)的二阶导数为欧拉目录上页下页返回结束变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的是各期现金流的现值和CFt，它的现值为应用．对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的1ttCFPy312231()1(1)(1)(1)(1)TtttttCFCFCFCFCFPyyyyyy111234123(1)(1)(1)(1)tttCFCFCFCFdPdyyyyy111(1)TttttCFyy，那么债券的理论价格就P(y)的二阶导数为根据泰勒级数公式，债券价格P(y)的近似计算公式为将一阶导数和二阶导数代入上式机动目录上页下页返回结束2112242(1)223(1)(1)(1)ttttCFCFCFdPdyyyy21(1)1(1)(1)TtttttCFyy2200021()()()()2dPdPPyPyyyyydydy或者机动目录上页下页返回结束0011()()()1(1)TttttCFPyPyyyyy2021(1)1()2(1)(1)TtttttCFyyyy2000211()()()(1)()()(1)(1)2()(1)(1)TTttttttPyPyyytCFyyttCFPyPyytPyyy令00()(),PPyPyyyy令1111(1)(1)(1)TTtttttttCFCFdPDPdyyyyD是债券现金流的加权平均期限，被称为修正的久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，修正值为(1+y)-1.经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标。C被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t×(t+1)的加权修正值，权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，不同于久期的是，其修正值为(1+y)-2。令机动目录上页下页返回结束22211(1)11(1)(1)(1)TTttttttttCFCFdPCPdyyyy因此，债券价格的近似公式简化为2()2PCDyyP例3面值为100元的上海世博一期债券期限为7年，每年利息为4元，市场价格为105元．求债券的修正久期的凸性，当收益率上升0.01时，世博债券的价格变化。设债券的收益率为，则债券的价格等于现金流的总现值机动目录上页下页返回结束7714100()(1)(1)ttPyyy利用Mathematica软件，首先定义价格方程所得现金流为(4+100)元。解每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息机动目录上页下页返回结束由于收益率y介于0和1之间，所以y0=0.0319当P0=105元时的y0值求修正久期修正久期为6.07052。求凸性机动目录上页下页返回结束当收益率上升0.01的时候，世博债券的价格变动幅度为因此，债券的近似计算公式为222()245.26596.07052()26.0705222.6329()PCDyyPyyyy26.070520.0122.63290.010.0584PP即债券的收益率上升100个基点（0.01），债券的价格大约下降5.84%有关幂级数的近似计算，也可以直接利用Mathematica软件中函数Series[]的功能，它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项，并用o[]n+1表示余项。机动目录上页下页返回结束解（1）定义价格函数。例4.利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series[]计算例3的问题。机动目录上页下页返回结束（2）利用Series[]求解债券价格的展开式。即P≈105.01-637.4(y-0.0319)+2376.46(y-0.0319)2（3）计算债券的价格变动、久期和凸性。将y=0.0419代入上式，可得P=98.87，价格变动幅度=(98.87-105)÷105=5.83%，修正久期为(637.40)1056.07dPCPdy凸性为22(2376.462)10545.26dPCPdy机动目录上页下页返回结束解（1）利用Mathematica软件，首先定义债券的价格函数。例42006年某期面值为100元的附息国债的年限为5年，每年利息为3.7元，如果债券的收益率为4%，求债券的修正久期和凸性。Out[23]=98.6645-441.43(y-0.04)+1242.32(y-0.04)2+o[y-0.04]3（2）求y=4%，n=2时，泰勒级数的展开式。机动目录上页下页返回结束（3）求修正久期和凸性。债券的修正久期债券的凸性(441.43)98.664.47dPDPdy22(1242.322)98.6625.12dPCPdy机动目录上页下页返回结束本节小结：2.泰勒级数的定义1.泰勒公式定义3.如何利用级数来求近似值机动目录上页下页返回结束课堂练习：习题10–61．求tanx和arccosx在x0=0处的幂级数展开式，取n=15。3．将下列函数在指定处展开成泰勒级数，取n=6。001(1)(),1;2(2)()ln,2.fxxxfxxx机动目录上页下页返回结束作业：P2372、4题习题10–6