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1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．第2课时二元一次不等式组与简单的线性规划问题【命题预测】1．线性规划是新增加的内容，在高考中不会单独出现，往往会蕴含在与其他学科有关的问题之中，大多都是容易题，题目的形式多种多样，可以是填空题，也可以是解答题．2．高考主要考查如何表示二元一次不等式组的平面区域，并且利用平面区域求最值和解决实际问题．【应试对策】1．用图解法解决线性规划问题，关键是分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数，可先将题目中的数量分类，列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．2．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值．到底是哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法是利用围成可行域的直线的斜率来判断．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数多个．3．若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，此时应当作适当的调整，其方法是以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目不多，可采用逐个检验的办法确定．4．由于解线性规划问题的关键步骤是在图形上完成的，所以，作图时应尽可能准确，图上操作要尽可能规范．但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，从而作出结论．线性规划是利用数形结合法解决实际问题和数学问题的最优解的一种方法，主要是借助坐标平面内的直线以及直线所围成的平面区域求解．因此，准确、规范的作图是保证解题结果准确的重要手段．【知识拓展】1．解线性规划应用题的步骤：(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．求解过程：①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．(3)作答——就应用题提出的问题作出回答．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示平面区域一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，y＞kx＋b表示直线上方的平面区域，y＜kx＋b表示直线的平面区域．(2)选点法确定二元一次不等式表示的平面区域①任选一个的点；②检验它的坐标是否满足所给的不等式；下方不在直线上③若适合，则该点即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．(3)二元一次不等式组表示平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的部分．思考：不等式y≥kx＋b与y＞kx＋b所表示的平面区域有何不同？提示：不等式y≥kx＋b表示的平面区域包括边界直线，此时边界直线画成实线，而ykx＋b表示的平面区域不包括边界直线，此时边界直线画成虚线．所在的一侧公共2．线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x，y满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的线性函数可行域条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的或问题最大值最小值最大值最小值约束1．不等式x＋3y－70表示直线x＋3y－7＝0________方的平面区域．答案：上2.如右图，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为.答案：3．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．解析：由题意知(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，即(a＋7)(a－24)＜0∴－7＜a＜24.答案：－7＜a＜244．(盐城市高三第一次调研考试)设不等式组，所表示的区域为A，现在区域A中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线y＝x上方的概率为________．解析：由题知，区域A的面积为4，又因为区域A内在直线y＝x上方区域的面积为3，所以所求概率为.答案：5．(2010·江苏省东台中学高三数学诊断性试卷)已知变量x，y满足约束条件.若目标函数z＝ax＋y(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________．答案：二元一次不等式组表示平面区域的判断(1)直线定界，特殊点定域：注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点．(2)同号上，异号下：即当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．【例1】如图所示，试用关于x，y的不等式组表示图中阴影部分所示的平面区域．思路点拨：要写出对应图形如何用相应的不等式表示出来，只要在对应的平面区域中任取一个点，将其坐标分别代入对应的直线的一般式方程的左边，再判断其符号即可写出相应的不等式组．解：由所给的图形可以看到，点(-1,0)在相应的平面区域内，把点(-1，0)的坐标分别代入x-y，x+2y-4，x+2中，使得x-y0，x+2y-40，x+20，同时注意相应的平面区域是否包括边界在内，故图中阴影部分所示的平面区域用不等式组表示为变式1：(2010·南京市第九中学调研测试)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．解析：画出平面区域如图，由得x=1，在x+3y=4中令x=0得y=，在3x+y=4中令x=0得y=4.∴平面区域的面积为.答案：1．在可行域内求目标函数的最值，必须先准确地作出可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．最优解的确定方法线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b0时，则是向下方平移．【例2】已知x，y满足不等式组试求z＝300x＋900y取得最大值时的坐标，及相应的z的最大值．思路点拨：先画出不等式组对应的平面区域，然后将直线300x＋900y＝0平移，观察对应直线经过该平面区域的什么点时，在横(或纵)轴上的截距最大，同时注意判定对应的点的坐标是否均为整数，否则应适当地进行调整，从而得出结论．解：如图所示平面区域AOBC，其中点A(0,125)，点B(150,0)，点C的坐标由方程组得C.令t=300x+900y，即y=，欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=与直线y=-x平行，故作y=-x的平行线，可知过点A(0,125)时，对应的直线的截距最大，所以，此时在A处使z取最大值，=300×0+900×125=112500.变式2：(南京市高三调研测试)已知变量x，y满足，则z＝2x＋y的最大值是________．解析：在平面直角坐标系中作出如图中阴影部分所示的可行域，在可行域中平行移动直线z=2x+y可知在B处取得取大值，又B(3,3)，所以=2×3+3=9.答案：9解决线性规划实际应用题的一般步骤：(1)认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数．(2)作出可行域．(3)作出目标函数值为零时对应的直线l.(4)在可行域内平行移动直线l，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解．(5)求出最优解，从而得到目标函数的最值．【例3】制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？思路点拨：根据条件列出不等式组作出可行域，在可行域内平行移动目标函数对应的直线，求出取得最大值时，甲、乙两个项目各需投资的钱数．解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组得x＝4，y＝6.此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．变式3：某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所示的平面区域．即可行域，如图所示，作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200.∴点M的坐标为(100,200)．∴=3000x+2000y=700000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.1．解简单线性规划的方法称为图解法，这种方法是用一族平行直线与某平面区域相交，研究直线在y(或x)轴上截距的最大值或最小值，从而求某些二元一次函数的最值．2．解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故要重视画图；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上．3．目标函数所对应的直线束的斜率，如果约束条件组中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，那么最优解有可能有无数个．4．解线性规划应用题需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题．在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引变量(参数)，再利用数学知识解决．由此可见，解决应用问题不仅需一定的数学知识，还需阅读能力、抽象概括能力来分析问题，最终解决问题，这些能力更需日积月累.【规律方法总结】【例4】某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元，B型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的费用最低．本题的主要变元是两个型号的车辆的数目，设为x、y，写出不等式组和目标函数，但是本题的难点在于目标函数并不是在区域边界上取得最小值，实际上本题的可行域也不是一个平面区域，而是一些孤立的整点，本题就是要在这些孤立的整点中找到问题的最优解．本题最容易出错的就是这个整点最优解的寻找，方法不当就会找错，可能出现各种错误的结果．【错因分析】目标函数z=320x+504y(x，y∈N)．作出上述不等式组所确定的平面区域，如图阴影所示即可行域．结合图象，可知当z=320x+504y在可行域内经过的整数点中，点(5,2)使z=320x+504y取得最小值，zmin=320×5+504×2=2608.∴每