第四章 概率论数理统计初步

上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§1随机事件及概率必然事件不可能事件随机事件频数频率：概率：概率的范围：[0，1]nmfApAp)(上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布概念：随机变量：ξ随机变量的概率分布随机变量的类型：离散型随机变量连续型随机变量上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布离散型随机变量的概率分布设随机变量ξ所可能取的值是xk(k=1,2,…),而pk是ξ取xk时的概率，)1;,2,1()(kkkkpkpxp则称pk为ξ的概率分布。式中xk为有限个或可列个。上式为概率分布的表示形式，叫做“分布列”。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布例1：二点分布随机变量ξ以概率p取值x1，以概率q取值x2，(p+q=1),其分布列为：qxppxp)()(2,1或记为：qxpx21:§2随机变量及其概率分布上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布例2：有限点分布随机变量ξ可能取值是x1，x2，…，xn；对应概率是p1，p2，…，pn；其分布列为：),,2,1()(,knkpxpk或记为：122111:kknnpppxxpx§2随机变量及其概率分布上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布二项分布设离散随机变量ξ取值0,1,2,…,n,而且),,2,1,0()(nkqpCkpknkkn其中0p1，p+q=1。称ξ服从“二项分布”。记作：ξ～B(n,p))!(!!knknCkn§2随机变量及其概率分布上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布泊松分布设离散随机变量ξ取值0,1,2,…,而且),2,1,0(!)(kekkpk其中λ0为一常数。称ξ服从“泊松分布”。泊松分布是当p→0，n→∞，np→λ时二项分布的极限分布。当n≥50，np5时，npekqpCkknkkn其中!§2随机变量及其概率分布上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布连续型随机变量的概率密度及分布函数设随机变量ξ小于任何实数的概率可写成如下积分形式xdxxpxpxF)()()(则说ξ是连续型的随机变量。F(x)叫做ξ的分布函数，而p(x)叫做ξ的分布密度或密度函数。上式所表示的概率分布叫做连续型的分布。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数分布密度p(x)的性质.对一切x,有p(x)≥0.1)(dxxp§2随机变量及其概率分布分布函数F(x)的性质.对于任意的ab,有p(a≤ξ＜b)=F(b)-F(a).当x1＜x2时，有F(x1)＜F(x2).1)(,0)(limlimxFxFxx上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数分布函数F(x)分布密度p(x)的关系xdxxpxpxF)()()(§2随机变量及其概率分布)()()(xpdxxpdxdxFx上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数正态分布若随机变量ξ的分布函数可以写成如下形式§2随机变量及其概率分布则ξ叫做正态分布的随机变量。式中m,σ是两个参数，σ0上式所表示的分布函数叫做以m,σ为参数的正态分布。)(21)()(222)(xdxexFxpxmx上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数正态分布正态分布的密度函数为：§2随机变量及其概率分布)(21)(222)(xexpmxm是随机变量总体的均值，又叫数学期望。σ为总体的均方差。具有参数m,σ的正态分布记为N（m，σ2）。m=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布，记为N（0，1）。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数正态分布正态分布N（m，σ2）的密度函数p(x)的图形为：§2随机变量及其概率分布①p(x)是一条左右对称的曲线，对称轴是x=m。②p(x)永远取正值，在x=m处达到极大值。③p(x)在(-∞,m)是增函数，在(m,+∞)是减函数，是一条“单峰”曲线。mxP(x)m+σm-σ21上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数正态分布§2随机变量及其概率分布④p(x)的拐点：m+σ，m-σ，曲线在xm-σ和xm+σ是向下凹的，而在m-σxm+σ是向上凸的。⑤p(x)当x→±∞时都以横轴为渐近线。mxP(x)m+σm-σ210)(,0)(limlimxpxpxx上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度及分布函数正态分布§2随机变量及其概率分布σ=1.5xP(x)σ=3σ=1⑥参数m和σ的几何意义:σ越大，曲线的最高点越低，曲线越平缓；σ越小，曲线的最高点越高，曲线越陡峭。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步正态分布变量的概率求法标准正态分布：直接查表非标准正态分布求落在任意区间(a,b)上的概率：用样本的平均值和标准差来估计m和σ；对资料进行标准化处理，得到标准化正态变量u；根据u值查表。§2随机变量及其概率分布niixnm11niimxn12)(1mxu)()()()()()()(121221uuuupuupuuupmbumapbxap上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步当x为正态分布N（m，σ2）时，求p（m-σxm+σ）的值。解：§2随机变量及其概率分布%3.68683.01)1(2)1()1()1()1()11()()(upupmxpmxpmxmp练一练依此类推，求p（m-2σxm+2σ）、p（m-3σxm+3σ）的值。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步当随机变量x服从正态分布时：落在区间（m-σ，m+σ）上的概率是68.3%。落在区间（m-2σ，m+2σ）上的概率是95.45%。落在区间（m-3σ，m+3σ）上的概率是99.73%。“3σ”原则§2随机变量及其概率分布练一练上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布对数正态分布Г分布连续型随机变量的概率密度及分布函数上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义统计检验参数检验显著性检验临界概率（显著性水平、信度）α置信水平上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义两类错误：第一类错误：假设正确而否定了它；第二类错误：假设错误却接受了它。第一类错误发生的概率为α。xα/2α/21-α接受域拒绝域拒绝域上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义统计假设检验的一般步骤对所研究的总体首先提出一个假设，记为H0。给定检验的显著性水平α。由实测资料计算出所采用的统计量的值，然后根据相应统计量的统计分布表查出临界值，进行显著性检验，并作出拒绝或接受假设的判断。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§3显著性检验2.常用的几种检验方法χ2检验可用来检验两组和两组以上资料的差异显著性，以及进行方差的比较等。t检验当总体方差未知，样本容量又不大时，对于服从正态分布的总体均值进行检验时，常用t检验法。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步§3显著性检验2.常用的几种检验方法F检验用于对方差的检验。与χ2检验的差别在于：χ2检验往往用于单参数情况，而F检验则往往用于两个参数的情形。上一页下一页退出返回目录第四章概率论数理统计初步