2016年高考江苏卷数学试题解析

1南京清江花苑严老师2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差2211niisxxn，其中11niixxn．棱柱的体积VSh，其中S是棱柱的底面积，h是高．棱锥的体积13VSh，其中S是棱锥的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合1,2,3,6A，|23Bxx，则AB．【答案】1,2；【解析】由交集的定义可得1,2AB．2.复数12i3iz，其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5；【解析】由复数乘法可得55iz，则则z的实部是5．3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173xy的焦距是．【答案】210；【解析】2210cab，因此焦距为2210c．4.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0.1；【解析】5.1x，22222210.40.300.30.40.15s．5.函数232yxx的定义域是．【答案】3,1；【解析】2320xx≥，解得31x≤≤，因此定义域为3,1．2南京清江花苑严老师6.如图是一个算法的流程图，则输出a的值是．开始输出a结束1a9bab4aa2bbYN【答案】9；【解析】,ab的变化如下表：a159b975则输出时9a．7.将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】56；【解析】将先后两次点数记为,xy，则共有6636个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366．8.已知na是等差数列，nS是其前n项和．若2123aa，510S，则9a的值是．【答案】20；【解析】设公差为d，则由题意可得2113aad，151010ad，解得14a，3d，则948320a．9.定义在区间0,3π上的函数sin2yx的图象与cosyx的图象的交点个数是．【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．3南京清江花苑严老师-11Oyx10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆222210xyabab的右焦点，直线2by与椭圆交于,BC两点，且90BFC，则该椭圆的离心率是．FCBOyx【答案】63；【解析】由题意得,0Fc，直线2by与椭圆方程联立可得3,22abB，3,22abC，由90BFC可得0BFCF，3,22abBFc，3,22abCFc，则22231044cab，由222bac可得223142ca，则2633cea．11.设fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上,10,2,01,5xaxfxxx其中aR，若5922ff，则5fa的值是．【答案】25；【解析】由题意得511222ffa，91211225210ff，由5922ff可得11210a，则35a，则325311155faffa．4南京清江花苑严老师12.已知实数,xy满足240,220,330,xyxyxy则22xy的取值范围是．【答案】4,135；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下xyBA–1–2–3–41234–1–2–3–4123422xy为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220xy的距离，225541d，则22min45xy，图中B点距离原点最远，B点为240xy与330xy交点，则2,3B，则22max13xy．13.如图，在ABC△中，D是BC的中点，,EF是AD上两个三等分点，4BACA，1BFCF，则BECE的值是．【答案】78；【解析】令DFa，DBb，则DCb，2DEa，3DAa，则3BAab，3CAab，2BEab，2CEab，BFab，CFab，则229BACAab，22BFCFab，224BECEab，由4BACA，1BFCF可得2294ab，221ab，因此22513,88ab，FEDCBA5南京清江花苑严老师因此22451374888BECEab．14.在锐角三角形ABC中，sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是．【答案】8；【解析】由sinsinπsinsincoscossinAABCBCBC，sin2sinsinABC，可得sincoscossin2sinsinBCBCBC（*），由三角形ABC为锐角三角形，则cos0,cos0BC，在（*）式两侧同时除以coscosBC可得tantan2tantanBCBC，又tantantantanπtan1tantanBCAABCBC(#)，则tantantantantantantan1tantanBCABCBCBC，由tantan2tantanBCBC可得22tantantantantan1tantanBCABCBC，令tantanBCt，由,,ABC为锐角可得tan0,tan0,tan0ABC，由(#)得1tantan0BC，解得1t2222tantantan111tABCttt，221111124ttt，由1t则211104tt，因此tantantanABC最小值为8，当且仅当2t时取到等号，此时tantan4BC，tantan2BC，解得tan22,tan22,tan4BCA（或tan,tanBC互换），此时,,ABC均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC△中，6AC，4cos5B，π4C．⑴求AB的长；⑵求πcos6A的值．【答案】⑴52；⑵72620．【解析】⑴4cos5B，B为三角形的内角6南京清江花苑严老师3sin5BsinCsinABACB63252AB，即：52AB；⑵coscossinsincoscosACBBCBC2cos10A又A为三角形的内角72sin10Aπ31726coscossin62220AAA．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，,DE分别为,ABBC的中点，点F在侧棱1BB上，且11BDAF，1111ACAB．求证：⑴直线//DE平面11ACF；⑵平面1BDE平面11ACF．【答案】见解析；【解析】⑴,DE为中点，DE为ABC的中位线//DEAC又111ABCABC为棱柱，11//ACAC11//DEAC，又11AC平面11ACF，且11DEACF//DE平面11ACF；⑵111ABCABC为直棱柱，1AA平面111ABC111AAAC，又1111ACAB且1111AAABA，111,AAAB平面11AABB11AC平面11AABB，又11//DEAC，DE平面11AABB又1AF平面11AABB，1DEAFFEDCBAC1B1A17南京清江花苑严老师又11AFBD，1DEBDD，且1,DEBD平面1BDE1AF平面1BDE，又111AFACF平面1BDE平面11ACF．17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABCD，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABCD（如图所示），并要求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的4倍．⑴若6mAB，12mPO，则仓库的容积是多少；⑵若正四棱锥的侧棱长为6m，当1PO为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵23m；【解析】⑴12mPO，则18mOO，1111231116224m33PABCDABCDVSPO=，111123168288mABCDABCDABCDVSOO=，111111113312m=PABCDABCDABCDVVV，故仓库的容积为3312m；⑵设1mPOx，仓库的容积为()Vx则14mOOx，21136mAOx，211236mABx，1111223331111272272224m3333PABCDABCDVSPOxxxxxx=，11112233172242888mABCDABCDABCDVSOOxxxx=，111111113332262428883120633=PABCDABCDABCDVxVVxxxxxxx，22'263122612Vxxx06x，当0,23x时，'0Vx，Vx单调递增，当23,6x时，'0Vx，Vx单调递减，因此，当23x时，Vx取到最大值，即123mPO时，仓库的容积最大．O1PODCBAD1C1B1A18南京清江花苑严老师[来源:学|科|网]18.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：221214600xyxy及其上一点2,4A．⑴设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x上，求圆N的标准方程；⑵设平行于OA的直线l与圆M相交于,BC两点，且BCOA，求直线l的方程；⑶设点,0Tt满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TATPTQ，求实数t的取值范围．【答案】⑴22611xy⑵25yx或215yx⑶2221,2221；【解析】⑴因为N在直线6x上，设6,Nn，因为与x轴相切，则圆N为2226xynn，0n又圆N与圆M外切，圆M：226725xx，则75nn，解得1n，即圆N的标准方程为22611xy；⑵由题意得25OA，2OAk设:2lyxb，则圆心M到直线l的距离21275521bbd,则2225252255bBCd，25BC，即25225255b，解得5b或15b，即l：25yx或215yx；⑶TATPTQ，即TATQTPPQ，即TAPQ，2224TAt，又10PQ≤,即222410t≤，解得2221,2221t，对于任意2221,2221t，欲使TAPQ，此时10TA，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为2254TA，必然与圆交于PQ、两点，此时TAPQ，即TAPQ，因此对于任意2221,2221t，均满足题意，yxOMA9南京清江花苑严老师综上2221,2221t．19.（本小题满分14分）已知函数0,0,1,1xxfxababab．⑴