(整理的好材料)圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题

基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破基础要点整合一、构建知识网络基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破掌握四个概念及公式(1)定值问题：在解析几何中，有些量与参数_____，这些量就看作定值．二、梳理基础知识无关(2)弦长公式：直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_____________＝____________.1＋k2|x1－x2|1＋1k2|y1－y2|基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破(3)曲线Ax2＋By2＋Dx＋Ey＝0过定点_______；直线y－y0＝k(x－x0)过定点__________．(4)直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0的交点．(0,0)(x0，y0)基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破函数与方程的思想方法[考情一点通]考点一：圆锥曲线中的存在性问题考点核心突破题型解答题难度较难考查内容此类问题多考查点或参数是否存在，常与距离、斜率或方程等问题综合考查，形成知识的交汇，该类问题一般以证明题或探究的形式出现.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【例1】(2013·门头沟一模)在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的2倍．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．[自主解答](1)设点P的坐标为(x，y)．由题意知2×x－12＋y2＝|2－x|，化简得x2＋2y2＝2，所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝2.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破(2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y1＝－3y2①由x＝ty＋1x2＋2y2＝2，得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＞0，y1＋y2＝－2tt2＋2②y1·y2＝－1t2＋2③由①②③得t＝－1，y1＝1，y2＝－13或t＝1，y1＝－1，y2＝13，所以存在点P为(0，±1)．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【拓展归纳】存在性问题的类型及解法(1)存在性问题的类型存在性问题主要体现在以下几个方面：①点是否存在；②曲线是否存在；③命题是否成立．(2)存在性问题的解法求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件，先假设成立，再推出条件．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【考点集训】1．(2013·焦作模拟)椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上的一点，且满足F1M→·F2M→＝0.(1)求离心率的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，椭圆上的点到焦点的最近距离为4(2－1)．①求此时椭圆G的方程；②设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P0，－33、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破解析(1)设M(x，y)，则F1M→＝(x＋c，y)，F2M→＝(x－c，y)，由F1M→·F2M→＝0⇒x2＋y2＝c2⇒y2＝c2－x2.又M在椭圆上，∴y2＝b2－b2a2x2，∴c2－x2＝b2－b2a2x2⇒x2＝a2－a2b2c2.又0≤x2≤a2，∴0＜2－1e2≤1⇒22≤e≤1.∵0＜e＜1，∴22≤e＜1.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破(2)①依题意得：a－c＝42－1ca＝22∴a＝42b＝4，∴椭圆方程是：x232＋y216＝1.②设l：y＝kx＋m，由x232＋y216＝1y＝kx＋m⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－32＝0，而Δ＞0可得m2＜32k2＋16.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破又A、B两点关于过点P0，－33、Q的直线对称，∴kPQ＝－1k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xQ＝－2km1＋2k2，yQ＝m1＋2k2，∴yQ＋33xQ＝－1k⇒m＝1＋2k23，∴1＋2k232＜32k2＋16⇒0＜k2＜472.又k≠0，∴－942＜k＜0或0＜k＜942，∴所求的k的取值范围是－942＜k＜0或0＜k＜942.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破[考情一点通]考点二：圆锥曲线中的定值问题题型解答题难度较难考查内容此类以直线和圆锥曲线为载体，求某些定值问题，常与一元二次方程、函数、向量、数列等知识交汇命题，其实质是考查直线与圆锥曲线的位置关系，该类问题一般以证明题或探究的形式出现.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【例2】(2013·咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为33.过F1的直线l交E于A，B两点，且△ABF2的周长为43.(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O：x2＋y2＝5上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破[自主解答](1)设椭圆E的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．因AB过F1且A，B在椭圆上，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43，故a＝3.又离心率e＝ca＝33，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2.故椭圆E的方程为y23＋x22＝1.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破(2)证明设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)．由y－y0＝kx－x0y23＋x22＝1，可得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0.因l0与椭圆E相切，故Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0.整理可得(2－x20)k2＋2kx0y0－(y20－3)＝0.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－y20－32－x20.因点P在圆O上，∴x20＋y20＝5，∴k1·k2＝－5－x20－32－x20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【拓展归纳】定值问题的解法定值问题常表现为求一些直线方程、比例关系、参数的和与积等的定值，解决的方法有：(1)特值证明法：由特例先得到一个值，此值一般就是定值，然后再进行证明．(2)代数计算法：化解问题的关键是引进变化的参数或利用已知的参数表示直线的方程、比例关系及参数的和与积等，将问题转化为代数计算与推理，根据等式的恒成立，代数式的变换等寻找不受参数影响的量．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【考点集训】2．(2013·宜春模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点，离心率等于255.(1)求椭圆C的方程；(2)过x轴上异于椭圆C长轴端点的一定点M(m,0)作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于P点，若PA→＝λ1AM→，PB→＝λ2BM→，(λ1∈R，λ2∈R)，试问：λ1＋λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破解析(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意知b＝1.∴a2－b2a2＝255，即1－1a2＝255，∴a2＝5，∴椭圆C的方程为x25＋y2＝1.(2)设A、B、P点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(0，y0)．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y＝k(x－m)．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－10mk2x＋5m2k2－5＝0.∴x1＋x2＝10mk21＋5k2，x1x2＝5m2k2－51＋5k2.又PA→＝λ1AM→，PB→＝λ2BM→，则λ1＝x1m－x1，λ2＝x2m－x2.λ1＋λ2＝x1m－x1＋x2m－x2＝mx1＋x2－2x1x2m2－mx1＋x2＋x1x2＝10m2－5为定值．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破[考情一点通]考点三：圆锥曲线中的定点或定直线问题题型解答题难度较难考查内容此类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件，探究或证明直线、曲线过定点，或动点在定直线上，试题的条件中往往含有一个或两个参数，解题的过程往往就是消参的过程.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破【例3】(2013·日照一模)已知长方形ABCD，AB＝22，BC＝33.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(1)求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆P的标准方程；(2)已知定点E(－1,0)，直线y＝kx＋t与椭圆P交于M、N相异两点，证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段MN为直径的圆过E点．基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破[自主解答](1)由题意可得点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，2，33.设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则2a＝AC＋BC＝23＞22，∴a＝3.∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆的标准方程是x23＋y2＝1.基础要点整合解题规范流程训练高效提能第一部分专题五解析几何高考专题辅导与训练·数学(理科)菜单考点核心突破(2)证明将y＝k